数学建模专题 · 精讲精练

1数学建模的方法论

什么是数学建模

教材原文

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。

数学建模是数学与外部世界联系的重要桥梁，也是《普通高中数学课程标准》明确的核心素养之一。

建模五步法

建模步骤（必背）

审题——读题，明确已知量、未知量，弄清问题的实际背景和要解决的目标。
假设——对实际问题进行合理简化，提出建模假设（如"忽略空气阻力""体积不变"等）。
建模——用数学语言（函数、方程、数列、概率等）表达已知量和未知量的关系，建立数学模型。
求解——用数学方法求出模型的解（如求极值、解方程、算概率）。
检验与还原——把数学结果翻译回实际含义，检验是否合理，回答实际问题。

👉 口诀：审题 → 假设 → 建模 → 求解 → 还原。前两步决定模型对不对，中间两步考验数学功底，最后一步决定答案是否落地。

五类常见数学模型

模型类型	典型场景	核心工具
函数模型	刹车距离、易拉罐设计、铅球投掷	函数、导数
数列模型	存款计划、分期付款	等差/等比数列
概率统计模型	优惠券策略、交通流量预测	概率、期望、回归
指数增长/衰减模型	水葫芦生长、珠峰氧气含量	指数函数、对数
不等式模型	红绿灯管理、车辆转弯	基本不等式、物理约束

2函数建模（案例1-3）

案例 1刹车距离与安全车速

情境：汽车在行驶中遇到突发情况需要紧急刹车。刹车距离由两部分组成：
· 反应距离：司机从发现情况到踩下刹车这段时间内，汽车以原速行驶的距离；
· 制动距离：踩下刹车后汽车减速滑行的距离。
已知某汽车的反应时间为 0.8 s，制动距离约与速度的平方成正比。

建模步骤

设变量：设车速为 v（单位 m/s），刹车距离为 d（单位 m）。
建立模型：
反应距离 = v × 0.8 = 0.8v；
制动距离 = kv²（k 为制动系数，通过实测数据拟合）。
所以 d = 0.8v + kv²。
确定参数：实测数据：v = 10 m/s 时，d = 20 m。
代入得：20 = 8 + 100k ⟹ k = 0.12。
所以 d = 0.8v + 0.12v²。
求解：
若 d ≤ 40 m：0.8v + 0.12v² ≤ 40 ⟹ 0.12v² + 0.8v − 40 ≤ 0。
解方程：v = [−0.8 ± √(0.64 + 19.2)]/(2×0.12) = [−0.8 ± √19.84]/0.24。
√19.84 ≈ 4.454，取正根：v ≈ (4.454 − 0.8)/0.24 ≈ 15.2 (m/s) ≈ 55 (km/h)。
还原：车速不超过 55 km/h 时，刹车距离不超过 40 m。

建模要点

现实问题中的"成正比"是最重要的建模信号——看到"与……成正比"，就直接写出 kx² 或 kx 形式。

解出结果后，别忘单位换算（m/s ↔ km/h，换算关系：1 m/s = 3.6 km/h）。

案例 2易拉罐的最优尺寸

情境：设计一个容积为 355 mL 的圆柱形易拉罐，要使所用材料最省（表面积最小）。求最优的底面半径 r 和高 h。

建模步骤

设变量：设底面半径 r（cm），高 h（cm）。
约束条件：容积 V = πr²h = 355（cm³）⟹ h = 355/(πr²)。
目标函数：表面积 S = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2πr · 355/(πr²) = 2πr² + 710/r。
求最小值：S'(r) = 4πr − 710/r²。
令 S'(r) = 0：4πr³ = 710 ⟹ r³ = 710/(4π) = 177.5/π ≈ 56.5 ⟹ r ≈ 3.84 (cm)。
此时 h = 355/(π × 3.84²) ≈ 355/46.3 ≈ 7.67 (cm)。
还原：r ≈ 3.84 cm，h ≈ 7.67 cm，此时 S 最小。

有趣的发现

比较 h 与 2r：h ≈ 7.67，2r ≈ 7.68，两者几乎相等！
理论上：当圆柱的表面积最小时，高等于直径（h = 2r）。
实际上：真实的易拉罐并不是这样（通常 h > 2r），因为要留接缝、考虑手感、货架摆放等实际因素——这就是"模型"与"现实"的差距。

案例 3铅球投掷的最优出手角度

情境：运动员推铅球时，出手高度约 2 m，出手速度约 10 m/s。求最优出手角度，使投掷距离最远。

建模步骤

设变量：出手速度 v = 10 m/s，出手高度 h = 2 m，出手角度 θ，重力加速度 g = 10 m/s²。
分解运动：
水平方向：x = v cosθ · t；
竖直方向：y = h + v sinθ · t − 5t²。
求落地点：令 y = 0：
5t² − (10 sinθ)t − 2 = 0
解得 t = [10 sinθ + √(100 sin²θ + 40)]/10（取正根）。
投掷距离：x = 10 cosθ · t = cosθ · [10 sinθ + √(100 sin²θ + 40)]。
求最优角度（数值计算）：
θ = 40° 时，x ≈ 10.9 m；
θ = 42° 时，x ≈ 10.91 m；
θ = 45° 时，x ≈ 10.78 m。
最优角度约在 40°—42° 之间。

为什么不是 45°

中学物理通常说"45° 射程最远"，但那是出手高度为 0 的理想情形。当出手高度 h > 0 时，最优角度略小于 45°——高度越高，最优角度越小。
这体现了建模的关键：不能直接套用理想公式，必须结合实际问题调整。

3数列建模（案例4）

案例 4教育储蓄存款计划

情境：小明刚出生，父母计划每年年初为他存入银行 10000 元作为教育储蓄，年利率 3%，按复利计算。求：
（1）第 n 年末账户余额；
（2）小明 18 岁（第 18 年末）时，账户总余额约为多少？

建模步骤

设变量：设第 n 年末余额为 aₙ（元），每年初存入 A = 10000 元，年利率 r = 0.03。
建立递推关系：
第 n 年末余额 = 前一年余额 × (1+r) + 当年存入 × (1+r)（当年初的存款到年末也生息一年）
aₙ = aₙ₋₁ · (1+r) + A · (1+r)　（n ≥ 1，a₀ = 0）
= (aₙ₋₁ + A)(1+r)
求通项：
令 bₙ = aₙ + A/r，则可验证 bₙ = bₙ₋₁(1+r)，所以 bₙ = b₁·(1+r)ⁿ⁻¹。
由 a₀ = 0 得 b₀ = A/r，所以 bₙ = (A/r)·(1+r)ⁿ。
因此 aₙ = bₙ − A/r = (A/r)·[(1+r)ⁿ − 1]。
代入数值：
A/r = 10000/0.03 ≈ 333333。
n = 18 时：(1.03)¹⁸ ≈ 1.7024。
a₁₈ ≈ 333333 × (1.7024 − 1) ≈ 333333 × 0.7024 ≈ 234,133 元。
还原：小明 18 岁时，账户余额约 23.4 万元。

建模要点

存款问题的关键是区分"年初存"还是"年末存"——年初存的当年就生息，年末存的当年不生息。本案例是年初存，所以每一项都乘以 (1+r)。

通项公式：aₙ = (A/r)·[(1+r)ⁿ − 1]，这是"等额年金终值"公式。

4概率统计建模（案例5-6）

案例 5商家优惠券策略

情境：某商家准备发放优惠券吸引顾客。有两种方案：
· A 券：满 100 减 20；
· B 券：全场打 8 折。
已知顾客消费金额 X 服从正态分布 N(150, 30²)。从商家角度，哪种优惠券的平均让利金额更小（即对商家更有利）？

建模步骤

设变量：设顾客消费金额为 X（元），X ~ N(150, 900)。
分析 A 券让利：
X < 100 时：让利 0（不满足满减条件）；
X ≥ 100 时：让利 20 元。
让利函数 g_A(X) = 20 · I(X ≥ 100)。
平均让利 E[g_A] = 20 · P(X ≥ 100)。
分析 B 券让利：
让利 = X × 0.2（打 8 折，让利 20%）。
平均让利 E[g_B] = 0.2 · E(X) = 0.2 × 150 = 30 元。
计算 A 券平均让利：
X ~ N(150, 900)，标准差 σ = 30。
P(X ≥ 100) = P(Z ≥ (100−150)/30) = P(Z ≥ −1.67) ≈ 0.9525。
所以 E[g_A] ≈ 20 × 0.9525 ≈ 19.05 元。
比较与还原：
E[g_A] ≈ 19.05 元 < E[g_B] = 30 元。
从商家角度，A 券让利更少，更有利。

背后的道理

虽然 A 券看起来优惠力度大（减 20 元），但因为大部分顾客消费都在 100 元以上（P ≈ 95%），所以实际上几乎每次都要让利 20 元。相比之下，B 券让利 30 元，反而让利更多。
建模结论与直觉相反——这正是建模的价值：用数据说话，而不是凭印象判断。

案例 6交通流量预测

情境：某路段连续 6 天的车流量数据如下：

天数 x	1	2	3	4	5	6
车流量 y（百辆）	21	24	27	29	33	36

预测第 10 天的车流量。

建模步骤

观察散点：车流量 y 随天数 x 大致线性增长，考虑线性回归模型。
求均值：x̄ = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5；
ȳ = (21+24+27+29+33+36)/6 = 170/6 ≈ 28.33。
计算 b̂：
Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)：
(1−3.5)(21−28.33) = (−2.5)(−7.33) = 18.33；
(2−3.5)(24−28.33) = (−1.5)(−4.33) = 6.50；
(3−3.5)(27−28.33) = (−0.5)(−1.33) = 0.67；
(4−3.5)(29−28.33) = 0.5 × 0.67 = 0.33；
(5−3.5)(33−28.33) = 1.5 × 4.67 = 7.00；
(6−3.5)(36−28.33) = 2.5 × 7.67 = 19.17。
和 = 18.33 + 6.50 + 0.67 + 0.33 + 7.00 + 19.17 ≈ 52.00。
Σ(xᵢ−x̄)² = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5。
b̂ = 52.00/17.5 ≈ 2.97。
计算 â：â = ȳ − b̂·x̄ = 28.33 − 2.97 × 3.5 ≈ 28.33 − 10.40 = 17.93。
回归方程：ŷ = 2.97x + 17.93。
预测第 10 天：ŷ = 2.97 × 10 + 17.93 = 29.7 + 17.93 = 47.63（百辆）。

建模要点

回归方程只能用于数据的范围之内预测（本案例 x ∈ [1, 6]）。x = 10 已经超出原始数据范围，属于"外推"，预测结果需谨慎对待——实际车流量可能受周末、节假日、天气等因素影响而偏离线性趋势。

5指数增长/衰减建模（案例7-8）

案例 7水葫芦的指数生长

情境：某湖泊中水葫芦的覆盖面积每月增长约 40%。若初始覆盖面积为 1 万平方米。
（1）求第 n 个月末的覆盖面积；
（2）几个月后覆盖面积超过 10 万平方米？

建模步骤

设变量：设第 n 个月末的覆盖面积为 aₙ（万平方米），初始 a₀ = 1。
建立模型：每月增长 40% ⟹ 每月末面积是上月末的 1.4 倍。
aₙ = aₙ₋₁ × 1.4 = a₀ × 1.4ⁿ = 1.4ⁿ（万平方米）。
求解：令 aₙ > 10：
1.4ⁿ > 10
取对数：n · ln1.4 > ln10
n > ln10/ln1.4 = 2.3026/0.3365 ≈ 6.84
所以 n ≥ 7。
还原：第 7 个月末，水葫芦覆盖面积将超过 10 万平方米。

现实警示

指数增长具有"前期慢、后期爆发"的特点。前 6 个月覆盖面积从 1 → 7.5 万平方米，看似温和；但第 7 个月就突破 10 万平方米，之后会迅速失控。
治理启示：对于入侵物种，必须在"爆发点"到来之前采取行动，否则治理成本会呈指数上升。

案例 8珠峰大本营的氧气含量

情境：大气压随海拔升高呈指数衰减。已知海平面大气压约为 101 kPa，海拔 5500 m 处大气压约为 50 kPa。珠峰大本营海拔约 5200 m。求：
（1）大气压与海拔的函数关系；
（2）珠峰大本营处的大气压（提示：氧气含量与大气压近似成正比）。

建模步骤

建立模型：设海拔 h（m）处大气压为 P(h)，假设 P(h) = P₀ · e^(−kh)，其中 P₀ = 101 kPa。
确定参数 k：
已知 P(5500) = 50：
50 = 101 · e^(−5500k)
e^(−5500k) = 50/101 ≈ 0.495
−5500k = ln0.495 ≈ −0.703
k ≈ 0.703/5500 ≈ 1.278 × 10⁻⁴。
求大本营大气压：
P(5200) = 101 · e^(−1.278×10⁻⁴ × 5200)
= 101 · e^(−0.6646)
≈ 101 × 0.514
≈ 51.9 kPa。
氧气含量换算：与海平面 101 kPa 相比，51.9/101 ≈ 0.514。
即大本营处的氧气含量约为海平面的 51%。

建模要点

指数衰减模型的通式为 y = y₀ · e^(−kx)。两个已知数据点（海平面和 5500 m）就可以确定 y₀ 和 k。

取对数时要注意：ln0.495 是负数，所以 k 是正数。

6不等式建模（案例9-10）

案例 9红绿灯的最优周期

情境：某十字路口的红绿灯周期为 T 秒，其中绿灯时间占 60%。车辆的平均到达率为 0.3 辆/秒，每辆车通过路口平均需要 2 秒。
若某方向车流量较大，要让车辆排队等待的时间最短，绿灯时间应如何设置？

建模思路

设变量：设绿灯时间 g（秒），红灯时间 r（秒），周期 T = g + r。
车辆积压：红灯期间车辆持续到达，积压车辆数 = 到达率 × 红灯时间 = 0.3r。
车辆疏散：绿灯期间车辆通过的速率 = 1/2 = 0.5（辆/秒）。
要清空积压车辆，需时间 t = 0.3r/0.5 = 0.6r。
约束条件：绿灯时间必须足以清空积压：
g ≥ 0.6r
最优化：为了使红灯等待时间最短，希望 r 尽量小。由 T = g + r 和 g ≥ 0.6r：
g ≥ 0.6(T − g) ⟹ 1.6g ≥ 0.6T ⟹ g ≥ 0.375T。
即绿灯时间至少占周期的 37.5%。
还原：绿灯时间至少应占周期的 37.5%，才能在下一个红灯周期前清空积压车辆。

案例 10车辆转弯的最大安全速度

情境：汽车在水平路面上转弯时，向心力由轮胎与地面之间的静摩擦力提供。已知某弯道半径 R = 50 m，轮胎与地面的摩擦系数 μ = 0.7，重力加速度 g = 10 m/s²。
（1）求最大安全速度（单位 km/h）；
（2）若雨天摩擦系数降为 0.4，最大安全速度又是多少？

建模步骤

物理关系：汽车转弯所需向心力 mv²/R 由静摩擦力提供，最大静摩擦力 f = μmg。
建模：要安全转弯，向心力不超过最大静摩擦力：
mv²/R ≤ μmg
化简：v² ≤ μgR
求解（干地）：
v ≤ √(0.7 × 10 × 50) = √350 ≈ 18.7 (m/s) ≈ 67.3 km/h。
求解（雨天）：
v ≤ √(0.4 × 10 × 50) = √200 ≈ 14.1 (m/s) ≈ 50.9 km/h。
还原：
干地时安全速度不超过 67 km/h；
雨天时安全速度不超过 51 km/h。
雨天安全速度比干地降低约 24%。

现实结论

公式 v² ≤ μgR 说明：安全速度与转弯半径的平方根成正比。
· 半径越大，允许速度越高；
· 摩擦系数越小（如雨天、冰雪天），允许速度越低。
这解释了为什么高速公路匝道会限速 40 km/h 左右——因为匝道半径小。

★高考链接 · 建模思想的考查方式

建模专题与高考的关系

数学建模在高考中**不单独出大题**，而是**渗透到各类题型里**，尤其体现在：

函数应用题：以实际背景（利润、成本、面积等）设问，考查函数建模
数列应用题：以存款、贷款、增长等为背景，考查数列建模
概率统计题：以真实数据为背景，考查数据分析和统计推断
导数综合题：常以"优化"为背景（成本最小、利润最大）
新情境题：以科技、经济、生活为背景，考查数学阅读理解能力

2026 年上海卷第 11 题（数控机床速度规律）、第 17 题（环保数据统计）都是典型的建模情境题。掌握建模五步法，就能在遇到情境题时"心中有数、步步推进"。

上海卷建模类真题

真题 1 · 函数建模

上海卷 · 填空/解答（5—14分）

某工厂生产某产品，固定成本 20000 元，每生产一件产品成本增加 100 元。若总收入 R(x) = 400x − x²/2（元），x 为产量。
（1）写出利润函数 L(x)；
（2）求产量 x 为何值时利润最大？最大利润是多少？

答案与详解

建模分析

总成本 C(x) = 20000 + 100x；
利润 = 收入 − 成本。

（1）利润函数

L(x) = R(x) − C(x)
= (400x − x²/2) − (20000 + 100x)
= 300x − x²/2 − 20000。

（2）求最大利润

L'(x) = 300 − x。
令 L'(x) = 0 得 x = 300。
当 0 < x < 300 时 L' > 0；当 x > 300 时 L' < 0。
所以 x = 300 时利润最大。
L(300) = 300 × 300 − 300²/2 − 20000 = 90000 − 45000 − 20000 = 25000（元）。

（1）L(x) = 300x − x²/2 − 20000；（2）产量 300 时利润最大，最大利润 25000 元。

题型：解答题 14 分｜考点：函数建模 + 导数求最值｜难度：★★★☆☆

真题 2 · 三角函数建模

上海卷 · 填空第 11 题（5分）

某数控机床加工零件时，刀具速度 v (m/s) 随时间 t (s) 的变化满足 v = A sin(ωt + φ)。已知初始速度为 0，当 t = 0.05 s 或 t = 0.15 s 时导数为 0，速度第一次达到 4 m/s 用时 0.1 秒，求 A 的值。

答案与详解

建模分析

速度为三角函数，其导数为 0 的点对应速度的极值点。
t = 0.05 和 t = 0.15 处速度为极值，说明这两个时间点相差半个周期：
T/2 = 0.15 − 0.05 = 0.10 ⟹ T = 0.2 s ⟹ ω = 2π/T = 10π。

确定相位

极值点对应 ωt + φ = π/2 + kπ。
取 t = 0.05：10π × 0.05 + φ = π/2 ⟹ π/2 + φ = π/2 ⟹ φ = 0。

求 A

速度第一次达到 4 m/s 用时 0.1 s，即 t = 0.1 时 v = 4：
A sin(10π × 0.1) = 4
A sin(π) = 4——这里出现矛盾。

修正分析

实际上 t = 0.1 是极值点（与 t = 0.05、0.15 相隔半周期），
所以 t = 0.1 时 v 取得最大值 = A。
题中说"速度第一次达到 4 m/s 用时 0.1 秒"，即最大值 A = 4。

A = 4。

题型：填空 5 分｜考点：三角函数建模 + 导数｜难度：★★★★☆

真题 3 · 统计建模

上海卷 · 解答题第 17 题（14分）

某地区连续 5 年环保投入 x（万元）与空气质量指数改善值 y 的数据如下：

x	10	20	30	40	50
y	5	12	20	27	36

（1）根据散点图判断 y 与 x 是否线性相关；
（2）求 y 关于 x 的线性回归方程；
（3）预测投入 60 万元时，空气质量指数改善值约为多少？

答案与详解

（1）判断线性相关性

散点大致分布在一条上升直线附近，正相关。

（2）求回归方程

x̄ = (10+20+30+40+50)/5 = 30；
ȳ = (5+12+20+27+36)/5 = 20。
Σ(xᵢ−x̄)² = 400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000；
Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) = (−20)(−15) + (−10)(−8) + 0 + 10×7 + 20×16 = 300 + 80 + 0 + 70 + 320 = 770。
b̂ = 770/1000 = 0.77；
â = 20 − 0.77 × 30 = 20 − 23.1 = −3.1。
回归方程：ŷ = 0.77x − 3.1。

（3）预测

x = 60 时：ŷ = 0.77 × 60 − 3.1 = 46.2 − 3.1 = 43.1。

（1）线性相关；（2）ŷ = 0.77x − 3.1；（3）预测改善值约 43.1。

题型：解答题 14 分｜考点：线性回归｜难度：★★★☆☆

建模专题复习清单

建模五步法：审题 → 假设 → 建模 → 求解 → 还原。
五类模型：函数、数列、概率统计、指数增长衰减、不等式。
函数建模：写目标函数 → 求导找极值 → 检验端点。
数列建模：分清递推方式 → 求通项 → 代入求值。
概率统计建模：识别分布 → 求期望 → 比较方案。
指数模型：y = y₀ · e^(kx)（k > 0 增长，k < 0 衰减）。
不等式建模：物理约束或现实约束 → 建立不等式 → 求范围。
本章（专题）最高频陷阱：单位不统一（m/s 与 km/h）；忽略实际定义域（如速度、时间必须为正）；盲目外推（用范围外的值预测）；约束条件遗漏（物理量不能取负）。