第8章成对数据的统计分析

1相关关系与散点图

教材概念

教材原文

变量与变量之间的关系，常见的有两类：

① 函数关系：变量之间存在确定的依赖关系，可以用函数关系式表示；

② 相关关系：变量之间存在不确定的依赖关系，一个变量变化，另一个变量的取值也随之变化，但不能用函数式精确表达。

对比项	函数关系	相关关系
关系	确定的	不确定的
表示	函数式 y = f(x)	近似表达，不能精确
例子	圆面积与半径 S = πr²	身高与体重、广告费与销售额

① 正相关 vs 负相关

② 不相关（散点杂乱）

典型习题（先做，再看答案）

例 1

判断下列变量之间的关系是函数关系还是相关关系：
（1）正方形的面积 S 与边长 a；
（2）某商品的价格与销量；
（3）人的身高与体重；
（4）圆的周长 C 与半径 r。

💡 提示：看是否能用函数式精确表示。

答案与详解

（1）函数关系。S = a²（a > 0），完全确定。

（2）相关关系。价格升高时销量通常下降，但下降幅度不确定，不能用函数式精确表达。

（3）相关关系。身高越高，体重一般也越大，但不同个体差异大，不确定。

（4）函数关系。C = 2πr，完全确定。

函数关系：（1）（4）；相关关系：（2）（3）。

例 2

根据下面的散点图，判断 y 与 x 是否具有相关关系，如果有，是正相关还是负相关？
（1）散点从左下方向右上方分布；
（2）散点从左上方向右下方分布；
（3）散点无明显规律。

💡 提示：看散点的"走势"。

答案与详解

（1）正相关。x 增大时 y 也呈增大趋势。

（2）负相关。x 增大时 y 呈减小趋势。

（3）不相关。散点没有明显规律。

（1）正相关；（2）负相关；（3）不相关。

易错题（具体例子）

易错点 · 混淆"相关关系"与"因果关系"

判断：某统计数据显示，冰淇淋销量与溺水人数呈正相关，所以吃冰淇淋导致溺水。

错误做法：
认为正相关就存在因果关系。

正确做法：
相关 ≠ 因果。
冰淇淋销量与溺水人数确实呈正相关，但这是因为两者都受"夏季高温"这个共同因素影响（都被气温"推动"），并不是吃冰淇淋直接导致溺水。
要点：相关关系只是"数据同时变化"的统计规律，不能说明因果性。要判断因果，需要结合具体背景或其他研究。

2相关系数

教材概念

教材原文

设 n 对成对数据 (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ)，则称

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]

为变量 x 与 y 的样本相关系数（简称相关系数）。

相关系数 r 的性质：

· r ∈ [−1, 1]；

· |r| 越接近 1，线性相关程度越强；

· |r| 越接近 0，线性相关程度越弱；

· r > 0：正相关；r < 0：负相关；r = 0：不线性相关；

· r = ±1：两变量完全线性相关（所有散点在一条直线上）。

判断标准（经验值）：

· |r| ≥ 0.75 时，认为线性相关程度较强；

· |r| < 0.3 时，认为线性相关程度很弱。

概念解读

"相关系数 r"的三个关键

① r 是一个"标准化"的协方差——r 的公式本质上是"x 与 y 的协方差"除以"x 的标准差与 y 的标准差的乘积"。所以 r 无量纲，取值在 [−1, 1]。

② r 只衡量"线性"相关的程度——若两变量存在很强的非线性关系（如 y = x²），r 可能接近 0，但并不表示两者无关。此时应用散点图辅助判断。

③ |r| 越接近 1，散点越"贴近"一条直线：

r = 1：所有点在同一条上升直线上；
r = −1：所有点在同一条下降直线上；
r = 0：散点没有线性规律。

👉 口诀：看 r 值大小判强弱，看 r 值正负判方向。

① 不同 r 值对应的散点分布

② 相关系数的取值范围与含义

r 的范围	相关程度	方向
r = 1	完全正相关	正
0.75 ≤ r < 1	较强正相关	正
0.3 ≤ r < 0.75	中等正相关	正
−0.3 < r < 0.3	弱相关或不相关	—
−0.75 < r ≤ −0.3	中等负相关	负
−1 < r ≤ −0.75	较强负相关	负
r = −1	完全负相关	负

典型习题（先做，再看答案）

例 1

已知变量 x、y 的相关系数 r = −0.92，判断 x 与 y 的相关程度。

💡 提示：看 |r| 的大小和 r 的符号。

答案与详解

分析

· |r| = 0.92，接近 1，说明线性相关程度很强；
· r < 0，说明是负相关。

x 与 y 具有较强的负相关关系。

例 2

已知变量 x、y 的相关系数 r = 0.15，判断 x 与 y 的相关程度。

💡 提示：|r| < 0.3 时，一般认为是"弱相关或不相关"。

答案与详解

分析

|r| = 0.15 < 0.3，线性相关程度很弱，可以认为基本不线性相关。

x 与 y 之间线性相关程度很弱，近似认为不线性相关。

易错题（具体例子）

易错点 · 认为 r = 0 就一定"不相关"

判断：若两变量 x、y 的相关系数 r = 0，则 x 与 y 一定没有任何关系。

错误做法：
认为 r = 0 表示两变量无任何关系。

正确做法：
r = 0 只表示"无线性相关关系"，不能说明两变量之间没有关系。
反例：y = x²，x ∈ [−2, 2]，此时 r = 0，但 x 与 y 存在明确的非线性关系（抛物线关系）。
要点：相关系数只衡量"线性相关程度"，判断完整关系必须结合散点图。

3一元线性回归模型

教材概念

教材原文

若两个变量 x 与 y 之间存在线性相关关系，可以用一元线性回归模型来近似刻画它们之间的关系：

ŷ = b̂x + â

其中 ŷ 是对 y 的预测值，b̂ 是回归直线的斜率，â 是 y 轴截距。

最小二乘法：使残差平方和 Q = Σ(yᵢ − ŷᵢ)² 达到最小的 b̂、â，作为回归方程的参数估计值。

计算公式：

b̂ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²

â = ȳ − b̂·x̄

重要性质：回归直线一定经过样本中心点 (x̄, ȳ)。

概念解读

"最小二乘法"的直观理解

① 什么是"残差"——残差 = 实际值 − 预测值 = yᵢ − ŷᵢ。残差反映"预测误差"。

② 最小二乘法的思想——找到一条直线，使得所有点到这条直线的"铅垂距离平方和"最小。这些铅垂距离就是残差，因此叫"最小二乘"。

③ 回归方程的性质：

回归直线必过样本中心点 (x̄, ȳ)；
残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好；
回归系数 b̂ 的符号与相关系数 r 的符号一致（同为正相关或负相关）。

④ 用回归方程进行预测——把给定的 x 代入 ŷ = b̂x + â 计算得 ŷ。

⑤ 常用变形公式（便于手算）：

Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = Σxᵢyᵢ − n·x̄·ȳ；
Σ(xᵢ − x̄)² = Σxᵢ² − n·x̄²。

👉 要点：计算 b̂ 时，分子、分母都要用"离差形式"或"变形公式"，不要混淆。

① 最小二乘法的几何意义

② 最小二乘法计算公式

典型习题（先做，再看答案）

例 1

已知样本数据 (xᵢ, yᵢ)：
x：1, 2, 3, 4, 5；
y：2, 4, 5, 7, 8。
求变量 y 关于 x 的线性回归方程。

💡 提示：先求 x̄、ȳ，再算 Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) 和 Σ(xᵢ−x̄)²。

答案与详解

第一步：求样本中心点

x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3；
ȳ = (2+4+5+7+8)/5 = 26/5 = 5.2。

第二步：计算 Σ(xᵢ−x̄)²

(1−3)² = 4；
(2−3)² = 1；
(3−3)² = 0；
(4−3)² = 1；
(5−3)² = 4。
Σ(xᵢ−x̄)² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10。

第三步：计算 Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)

(1−3)(2−5.2) = (−2)(−3.2) = 6.4；
(2−3)(4−5.2) = (−1)(−1.2) = 1.2；
(3−3)(5−5.2) = 0 × (−0.2) = 0；
(4−3)(7−5.2) = 1 × 1.8 = 1.8；
(5−3)(8−5.2) = 2 × 2.8 = 5.6。
Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) = 6.4 + 1.2 + 0 + 1.8 + 5.6 = 15。

第四步：求 b̂

b̂ = 15/10 = 1.5。

第五步：求 â

â = ȳ − b̂·x̄ = 5.2 − 1.5 × 3 = 5.2 − 4.5 = 0.7。

回归方程：ŷ = 1.5x + 0.7。

例 2

利用例 1 的回归方程，预测当 x = 6 时 y 的值。

💡 提示：直接代入 x = 6 计算。

答案与详解

代入

ŷ = 1.5 × 6 + 0.7 = 9 + 0.7 = 9.7。

当 x = 6 时，y 的预测值为 9.7。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 回归方程系数顺序写反

已知回归方程是 ŷ = 1.5x + 0.7，判断：x = 6 时 y 的预测值为 9.7。

错误做法：
把 y 代入求 x（把 x 和 y 的位置弄反）。

正确做法：
回归方程 ŷ = b̂x + â 是"用 x 预测 y"的方程。
给定 x = 6，求 ŷ：
ŷ = 1.5 × 6 + 0.7 = 9.7 ✓
要点：注意回归方程的方向——x 是自变量，y 是因变量。

易错点 2 · 回归方程用于"外推"

已知回归方程 ŷ = 1.5x + 0.7 是在 x ∈ [1, 5] 范围内求得的，能否用它预测 x = 100 时的 y？

错误做法：
直接代入 x = 100 得 ŷ = 150.7。

正确做法：
回归方程只能用于"内插"，不能随意"外推"。
因为原数据只在 x ∈ [1, 5] 范围内验证了两者的线性关系。当 x 远离这个范围时，线性关系可能不成立（实际曲线可能弯曲、饱和、下降等）。
要点：使用回归方程预测时，要结合数据的实际范围，避免"盲目外推"。

4列联表与独立性检验

教材概念

教材原文

2×2 列联表：将两个分类变量 X、Y 的样本数据按类别交叉分类，得到的 2×2 表格如下：

	Y = y₁	Y = y₂	合计
X = x₁	a	b	a + b
X = x₂	c	d	c + d
合计	a + c	b + d	n = a+b+c+d

独立性检验：设两个分类变量 X 与 Y 独立（零假设 H₀），构造统计量

χ² = n(ad − bc)² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

当 H₀ 成立时，χ² 的取值大小反映 X 与 Y 相关的证据强弱。χ² 越大，H₀ 越不成立，即 X 与 Y 有关的证据越强。

判断标准（显著性水平）：

· χ² ≥ 2.706：有 90% 的把握认为 X 与 Y 有关；

· χ² ≥ 3.841：有 95% 的把握认为 X 与 Y 有关；

· χ² ≥ 6.635：有 99% 的把握认为 X 与 Y 有关；

· χ² ≥ 10.828：有 99.9% 的把握认为 X 与 Y 有关。

概念解读

独立性检验的"四个步骤"

第一步：提出零假设 H₀——H₀：X 与 Y 独立（即无关）。

第二步：列 2×2 列联表——把数据填入表中，求出 a、b、c、d 和总数 n。

第三步：计算 χ² 值——代入公式。

第四步：查表判断——把 χ² 与临界值比较，得出结论：

若 χ² ≥ 临界值，则拒绝 H₀，认为 X 与 Y 有关（有百分之几的把握）；
若 χ² < 临界值，则不能拒绝 H₀，认为 X 与 Y 无关（或证据不足）。

常见误区：

"不能拒绝 H₀" ≠ "H₀ 一定成立"——只能说"证据不足"，不能说"一定无关"；
χ² 越大，只能说明"关系越显著"，不能说明"关系越强"。

👉 口诀：假设独立（H₀）→ 列联表 → 算 χ² → 比临界值。

① 2×2 列联表的结构

	Y = y₁	Y = y₂	合计
X = x₁	a	b	a + b
X = x₂	c	d	c + d
合计	a + c	b + d	n

χ² = n(ad − bc)² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

② 临界值表

χ² 临界值	把握程度
2.706	90%
3.841	95%
6.635	99%
10.828	99.9%

要点：χ² 值越大，拒绝 H₀ 的理由越充分，把握程度越高。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

某医院调查吸烟与患肺癌的关系，随机调查了 100 人，结果如下：

	患肺癌	未患肺癌	合计
吸烟	20	30	50
不吸烟	5	45	50
合计	25	75	100

根据以上数据判断：能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为吸烟与患肺癌有关？

💡 提示：计算 χ²，与 3.841 比较。

答案与详解

第一步：列出 a、b、c、d

a = 20, b = 30, c = 5, d = 45；
a + b = 50, c + d = 50, a + c = 25, b + d = 75, n = 100。

第二步：计算 ad − bc

ad − bc = 20 × 45 − 30 × 5 = 900 − 150 = 750。

第三步：计算 χ²

χ² = 100 × 750² / (50 × 50 × 25 × 75)
= 100 × 562500 / 4687500
= 56250000 / 4687500
= 12。

第四步：比较判断

12 > 10.828，所以有 99.9% 的把握认为吸烟与患肺癌有关。
当然也在 95% 的把握程度上显著（12 > 3.841）。

在犯错误概率不超过 0.05 的前提下（即 95% 把握），可以认为吸烟与患肺癌有关。

例 2

某校对"性别"与"是否喜欢数学"进行调查，结果如下：

	喜欢数学	不喜欢数学	合计
男生	40	20	60
女生	30	30	60
合计	70	50	120

判断：能否认为性别与是否喜欢数学有关？

💡 提示：计算 χ²，对照临界值判断。

答案与详解

第一步：列数据

a = 40, b = 20, c = 30, d = 30；
a + b = 60, c + d = 60, a + c = 70, b + d = 50, n = 120。

第二步：计算 ad − bc

ad − bc = 40 × 30 − 20 × 30 = 1200 − 600 = 600。

第三步：计算 χ²

χ² = 120 × 600² / (60 × 60 × 70 × 50)
= 120 × 360000 / 12600000
= 43200000 / 12600000
≈ 3.429。

第四步：判断

3.429 < 3.841，所以不能在 95% 的把握程度上认为性别与是否喜欢数学有关。
但 3.429 > 2.706，可以在 90% 的把握程度上认为有关。

在 95% 的把握程度上，不能认为性别与是否喜欢数学有关；在 90% 的把握程度上，可以认为有关。

易错题（具体例子）

易错点 1 · "不能拒绝 H₀" ≠ "H₀ 成立"

某调查得 χ² = 2.5，与临界值 2.706 比较，判断"性别与爱好无关"。

错误做法：
因为 2.5 < 2.706，就下结论"性别与爱好无关"。

正确做法：
正确的表述是："没有充分的证据认为性别与爱好有关"，而不是"性别与爱好无关"。
两者含义不同：
· "没有证据有关" = 现有数据不足以推翻 H₀；
· "无关" = 断言变量之间真的没有关系。
统计推断只能给出"证据强弱"，不能给出"绝对结论"。

📌 口诀：说"证据不足"，不说"一定无关"。

易错点 2 · 列联表中数据代入错误

某调查数据如下，判断男生和女生对某问题的看法是否不同。

错误做法：
将行和列的 a、b、c、d 位置弄错，导致计算错误。

正确做法：
严格按照标准形式：
a = 第一行第一列的数（如"男生、同意"的人数）；
b = 第一行第二列的数（如"男生、不同意"的人数）；
c = 第二行第一列的数（如"女生、同意"的人数）；
d = 第二行第二列的数（如"女生、不同意"的人数）。
要点：先把表格摆正，再计算 ad − bc 和 χ²。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

成对数据的统计分析是上海高考数学概率统计板块的重要组成，常与真实情境结合。本章主要考查位置：

填空题 6—10 题（4—5分）：相关系数含义、回归方程系数计算
选择题 15—16 题（5分）：相关关系判断、统计图表读取
解答题 17 题（14分）：与真实情境结合，考查回归分析或独立性检验

近五年上海卷中，2026 年第 17 题结合环保数据考查散点图与回归分析，是本章考查的最新形式。掌握好本章，是拿稳概率统计解答题的关键。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 相关关系的判断

上海卷 · 填空第 6—8 题（4分）

根据散点图判断：当 x 增大时 y 呈现增大趋势，则 x 与 y 具有 ______ 相关关系。

答案与详解

分析

当 x 增大时 y 增大，是"同方向"变化，属于正相关。

答案：正相关。

题型：填空 4 分｜考点：相关关系方向｜难度：★☆☆☆☆

真题 2 · 相关系数的含义

上海卷 · 填空第 7—10 题（5分）

已知两变量的相关系数 r = −0.95，则这两个变量的线性相关程度 ______（选填"强"或"弱"），相关方向为 ______ 相关。

答案与详解

分析

· |r| = 0.95 接近 1 → 线性相关程度强；
· r < 0 → 负相关。

答案：强；负。

题型：填空 5 分｜考点：相关系数含义｜难度：★☆☆☆☆

真题 3 · 回归方程计算

上海卷 · 解答题第 17 题（14分）

已知样本数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

求 y 关于 x 的线性回归方程。

答案与详解

第一步：求均值

x̄ = (2 + 4 + 5 + 6 + 8)/5 = 25/5 = 5；
ȳ = (30 + 40 + 60 + 50 + 70)/5 = 250/5 = 50。

第二步：计算 Σ(xᵢ−x̄)²

(2−5)² = 9；
(4−5)² = 1；
(5−5)² = 0；
(6−5)² = 1；
(8−5)² = 9。
Σ(xᵢ−x̄)² = 9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20。

第三步：计算 Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)

(2−5)(30−50) = (−3)(−20) = 60；
(4−5)(40−50) = (−1)(−10) = 10；
(5−5)(60−50) = 0 × 10 = 0；
(6−5)(50−50) = 1 × 0 = 0；
(8−5)(70−50) = 3 × 20 = 60。
Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) = 60 + 10 + 0 + 0 + 60 = 130。

第四步：求 b̂

b̂ = 130/20 = 6.5。

第五步：求 â

â = ȳ − b̂·x̄ = 50 − 6.5 × 5 = 50 − 32.5 = 17.5。

回归方程：ŷ = 6.5x + 17.5。

题型：解答题 14 分｜考点：最小二乘法求回归方程｜难度：★★★☆☆

真题 4 · 独立性检验

上海卷 · 解答题第 17 题（14分）

某校调查 200 名学生的"性别"与"是否喜爱球类运动"，得到列联表：

	喜爱	不喜爱	合计
男生	80	20	100
女生	50	50	100
合计	130	70	200

判断：能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为"性别"与"是否喜爱球类运动"有关？

答案与详解

第一步：列数据

a = 80, b = 20, c = 50, d = 50；
a + b = 100, c + d = 100, a + c = 130, b + d = 70, n = 200。

第二步：计算 ad − bc

ad − bc = 80 × 50 − 20 × 50 = 4000 − 1000 = 3000。

第三步：计算 χ²

χ² = 200 × 3000² / (100 × 100 × 130 × 70)
= 200 × 9000000 / 91000000
= 1800000000 / 91000000
≈ 19.78。

第四步：判断

19.78 > 10.828，所以有 99.9% 的把握认为"性别"与"是否喜爱球类运动"有关。
当然也在 95% 的把握程度上显著。

在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，可以认为性别与是否喜爱球类运动有关。

题型：解答题 14 分｜考点：独立性检验｜难度：★★★☆☆

本章总结（复习清单）

函数关系 vs 相关关系：函数关系确定，相关关系不确定。
正相关与负相关：x 增大 y 也增大是正相关；x 增大 y 减小是负相关。
散点图：直观判断相关关系方向和强弱。
相关系数 r：r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近 1 越强，r 的正负表示方向。
r = 0 不代表无关系：只代表"无线性相关关系"。
相关 ≠ 因果：相关只是统计规律。
回归方程 ŷ = b̂x + â：用最小二乘法求 b̂ 和 â，回归直线过样本中心点 (x̄, ȳ)。
回归方程的应用：只适用于数据范围（内插），不能随意外推。
2×2 列联表：a, b, c, d 交叉分类计数，n = a+b+c+d。
χ² 统计量：χ² = n(ad−bc)² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]。
独立性检验判断：与临界值 2.706（90%）、3.841（95%）、6.635（99%）、10.828（99.9%）比较。
结论表述：拒绝 H₀ 时说"有 p% 的把握认为有关"；不能拒绝 H₀ 时说"证据不足"，不要说"一定无关"。
本章最高频陷阱：r = 0 误认为无关系；相关误认为因果；回归方程系数顺序写反；外推使用回归方程；χ² 判断结论表述错误。