设 A、B 是两个事件，且 P(A) > 0，则在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，记作 P(B|A)，且
P(B|A) = P(AB) / P(A)
乘法公式：P(AB) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)。
事件的独立性：如果 P(AB) = P(A)·P(B)，则称事件 A 与 B 相互独立。此时 P(B|A) = P(B)，即"A 发生与否不影响 B 发生的概率"。
若 A、B 独立，则 A 与 B̄、Ā 与 B、Ā 与 B̄ 都相互独立。
① 条件概率的本质——P(B|A) 是"在已知 A 发生的前提下"B 发生的概率。条件改变了样本空间：从原来的 Ω 缩小到 A。
公式 P(B|A) = P(AB)/P(A) 的含义：
· 分子 P(AB)：A 与 B 同时发生的概率；
· 分母 P(A)：A 发生的概率；
· 比值：在 A 的"范围内"，AB 所占的比例。
② 独立 vs 互斥——极易混淆：
| 对比项 | 互斥（A ∩ B = ∅） | 独立（P(AB) = P(A)P(B)） |
|---|---|---|
| 含义 | A、B 不能同时发生 | A 发生不影响 B 概率 |
| 概率关系 | P(A∪B) = P(A)+P(B) | P(AB) = P(A)·P(B) |
| P(AB) 的值 | P(AB) = 0 | P(AB) = P(A)·P(B) > 0（一般情况） |
③ 独立事件与条件概率的关系：
👉 口诀：条件概率"缩小样本空间"；独立事件"乘法公式 P(AB) = P(A)P(B)"。
某班 40 人，其中男生 25 人，戴眼镜的 12 人，既是男生又戴眼镜的 8 人。从男生中随机选 1 人，求这人戴眼镜的概率。
📌 口诀：P(B|A) 是"已知 A 发生"的前提下的概率；P(AB) 是"同时发生"的概率。
判断：若 P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A∪B) = 0.7，则 A、B 独立。
📌 要点：独立和互斥是两个独立的概念，都要分别验证。
完备事件组：设 A₁, A₂, …, Aₙ 是样本空间 Ω 的一组事件，若满足：
① A₁, A₂, …, Aₙ 两两互斥（Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅，i ≠ j）；
② A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₙ = Ω，
则称 A₁, A₂, …, Aₙ 为一个完备事件组（也叫一个划分）。
全概率公式：设 A₁, A₂, …, Aₙ 是一个完备事件组，且 P(Aᵢ) > 0，则对任意事件 B：
P(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + … + P(Aₙ)P(B|Aₙ)
贝叶斯公式：在已知 B 发生的条件下，求 Aᵢ 发生的概率：
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / P(B)
其中 P(B) 由全概率公式计算。
① 全概率公式的"分情况讨论"思想——把"B 发生"分解为若干互斥的情况：
直观理解：事件 B 可以由多个"路径"发生，每一条路径的概率是 P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ)，总概率是所有路径之和。
② 贝叶斯公式的"逆推"思想——已知结果 B 发生，反推它来自哪个原因 Aᵢ 的概率。
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / P(B)
③ 关键区别：
| 公式 | 已知 | 求 |
|---|---|---|
| 全概率公式 | 各原因概率 + 各条件下结果概率 | 结果的总概率 |
| 贝叶斯公式 | 结果已发生 | 各原因的"后验"概率 |
👉 口诀：全概率"由因推果"；贝叶斯"由果溯因"。
某工厂甲乙两条生产线，产量占比 60% 和 40%，次品率分别为 3% 和 5%。取到一件次品，求它是甲生产的概率。
📌 口诀：P(次品|甲) 是"甲条件下是次品"；P(甲|次品) 是"次品条件下是甲生产"——方向相反。
某产品由两个工厂生产，产量占比分别为 60% 和 40%。用全概率公式时漏掉一个工厂。
📌 要点：用全概率公式前，先检查 A₁, A₂, …, Aₙ 是否构成完备事件组。
随机变量：在随机试验中，随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用 X、Y、ξ 等表示。
离散型随机变量：如果随机变量 X 所有可能的取值都能一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量。
概率分布列：设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x₁, x₂, …, xₙ，X 取每个值 xᵢ 的概率为 pᵢ（即 P(X = xᵢ) = pᵢ），则称下表为 X 的概率分布列（简称分布列）：
| X | x₁ | x₂ | … | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P | p₁ | p₂ | … | pₙ |
分布列的性质：
· pᵢ ≥ 0（i = 1, 2, …, n）；
· p₁ + p₂ + … + pₙ = 1。
① 随机变量的取值范围——先确定 X 所有可能的取值，不重不漏。
② 分布列性质的应用——
③ 求分布列的一般步骤：
④ 常见离散型随机变量：
👉 口诀：取值范围先确定，逐个求概率，最后验证和为 1。
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 1/10 | 3/5 | 3/10 |
X 的分布列为 P(X = 1) = 0.3, P(X = 2) = 0.4, P(X = 3) = 0.4。判断是否合理。
📌 要点：分布列两条性质——pᵢ ≥ 0 且 Σpᵢ = 1，缺一不可。
袋中有 3 个红球、2 个白球，有放回地取 2 次，每次取 1 个，用 X 表示取到的红球数。求 X 的可能取值。
📌 要点：求 X 的取值范围要"从 0 到最大"，不能遗漏边界。
数学期望：设离散型随机变量 X 的分布列为 P(X = xᵢ) = pᵢ，i = 1, 2, …, n，则称
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ = Σ xᵢpᵢ
为 X 的数学期望（简称期望或均值），它反映了 X 取值的平均水平。
方差：称
D(X) = Σ (xᵢ − E(X))² pᵢ
为 X 的方差，它反映了 X 取值的离散程度。方差的算术平方根 √D(X) 叫做标准差。
常用公式：D(X) = E(X²) − [E(X)]²。
期望与方差的性质：
· E(aX + b) = aE(X) + b（线性性）；
· D(aX + b) = a²D(X)（方差对常数平移不变，对常数倍取平方）。
① 期望 E(X)——"加权平均"：把 X 的每个取值按概率加权平均，反映 X 的"中心位置"。
② 方差 D(X)——"离散程度"：反映 X 的取值偏离期望的程度。方差越大，X 的取值越分散；方差越小，X 的取值越集中。
③ 两个计算方差的公式：
实际计算中，简化式更方便（只需先算 E(X) 和 E(X²)）。
④ 期望与方差的性质：
| 变换 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| X + b（平移） | E(X) + b | 不变 |
| aX（伸缩） | a·E(X) | a²·D(X) |
| aX + b | a·E(X) + b | a²·D(X) |
👉 口诀：期望"跟着一起动"，方差"平移不变，伸缩平方"。
已知 D(X) = 9，求 D(−3X + 2)。
📌 口诀：方差"平移不变，伸缩平方"；a 取负号也要平方。
已知 E(X) = 5，D(X) = 3，求 E(X²)。
📌 要点：D(X) = E(X²) − [E(X)]² 是核心公式，正反两用。
n 次独立重复试验：在相同条件下重复进行的 n 次试验，每次试验的结果相互独立，且每次试验中事件 A 发生的概率都等于 p，这样的试验叫做 n 次独立重复试验（也叫伯努利试验）。
二项分布：在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为：
P(X = k) = Cₙᵏ · pᵏ · (1 − p)^(n−k)，k = 0, 1, 2, …, n
称 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n, p)。
· 期望：E(X) = np；
· 方差：D(X) = np(1 − p)。
超几何分布：设 N 件产品中有 M 件次品，从中任取 n 件，用 X 表示取到的次品数，则 X 的分布列为：
P(X = k) = C(M, k) · C(N − M, n − k) / C(N, n)
其中 k 的取值范围为 max(0, n − (N − M)) ≤ k ≤ min(n, M)。
· 期望：E(X) = n·M/N。
| 对比项 | 二项分布 | 超几何分布 |
|---|---|---|
| 典型场景 | 有放回抽样 / 独立重复试验 | 无放回抽样 / 一次性抽取 |
| 每次概率 | 恒定 p | 随抽取变化 |
| 分布列 | P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) | P(X=k) = C(M,k)C(N−M,n−k)/C(N,n) |
| 期望 | np | nM/N |
| 方差 | np(1−p) | 复杂公式（不要求掌握） |
关键判断——
两个分布的期望关系——当 N 很大、n 相对较小时，超几何分布可以近似为二项分布：
若 M/N = p，则超几何分布的期望 nM/N = np，与二项分布的期望一致。
👉 口诀：有放回二项，无放回超几何；期望都用"n × 单次概率"。
从含 5 件正品、3 件次品的 8 件产品中任取 4 件，用超几何分布还是二项分布计算？
📌 要点：判断是"有放回"（独立重复）还是"无放回"（一次性抽取）。
10 件产品中 2 件次品，任取 5 件，求次品数 X 的期望。
📌 要点：超几何分布期望 = n × M/N；二项分布期望 = np——形式一致（p = M/N）。
如果随机变量 X 的概率密度函数为
f(x) = 1/(√(2π)·σ) · e^[−(x−μ)²/(2σ²)]，x ∈ R
其中 μ、σ 为常数（σ > 0），则称 X 服从正态分布，记作 X ~ N(μ, σ²)。
正态曲线的性质：
· 曲线在 x 轴上方，关于直线 x = μ 对称；
· 在 x = μ 处取得最高点，此时 f(μ) = 1/(√(2π)·σ)；
· 曲线与 x 轴之间的面积恒为 1；
· 当 x 偏离 μ 越远，曲线越接近 x 轴；
· σ 越大，曲线越"矮胖"；σ 越小，曲线越"高瘦"。
标准正态分布：μ = 0, σ = 1 时，记作 N(0, 1)。
3σ 原则：
· P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0.6827；
· P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0.9545；
· P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 0.9973。
① 对称性——正态曲线关于 x = μ 对称，这是最重要的性质。
由此可得：
② μ 和 σ 的作用：
③ 3σ 原则的应用——在 N(μ, σ²) 中，数据几乎都落在 (μ − 3σ, μ + 3σ) 内，概率约 99.73%。
④ 正态曲线与 x 轴之间的面积恒为 1——这是所有正态分布概率计算的基础。
👉 口诀：正态曲线"钟形对称"，μ 定位置，σ 定胖瘦。
已知 X ~ N(2, 9)，求 μ 和 σ。
📌 口诀：N(μ, σ²)——第二个参数是"方"不是"标准差"。
已知 X ~ N(2, σ²)，P(X < 1) = 0.3，求 P(X > 3)。
📌 要点：对称性应用——若 a 与 b 关于 μ 对称，则 P(X < a) = P(X > b)。
概率与统计是上海高考数学的重点板块，每年必考，且分值稳定在 20 分左右（一道小题 + 一道解答题）。本章主要考查位置：
近五年上海卷中，2026 年第 8 题考查随机变量期望；2026 年第 17 题是概率统计综合（14分）；2025 年第 18 题考查条件概率与分布列。掌握本章，是稳定拿分的关键。