加法原理（分类计数原理）：完成一件事有 n 类方法，第 1 类有 m₁ 种方法，第 2 类有 m₂ 种方法，…，第 n 类有 mₙ 种方法，且每一类方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 m₁ + m₂ + … + mₙ 种不同的方法。
乘法原理（分步计数原理）：完成一件事需要分成 n 个步骤，第 1 步有 m₁ 种方法，第 2 步有 m₂ 种方法，…，第 n 步有 mₙ 种方法，且每一步都必不可少，那么完成这件事共有 m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
① 加法原理的关键词：分类——把完成一件事的方法分成若干类，每一类都能单独完成任务。类别之间互斥（不重叠），保证不重复计数。
② 乘法原理的关键词：分步——把完成一件事的过程分成若干步，每一步都不能单独完成任务，必须全部完成。步骤之间连续，保证不遗漏计数。
③ 如何判断用加法还是乘法：
④ 综合应用——很多问题需要"先分类，再在每一类中分步"：
总数 = 第 1 类方法数 + 第 2 类方法数 + … + 第 n 类方法数。
其中每一类方法数可以用乘法原理计算。
👉 口诀：分类加法、分步乘法；不重不漏、条理清晰。
从 1, 2, 3, 4, 5 中任取两个数相加，和为偶数的取法有多少种？
📌 口诀：分类要"不重不漏"，把所有情况都列举出来。
某班有男生 20 人、女生 15 人。要选一名男生和一名女生做主持人，有多少种选法？
📌 口诀：题目中出现"和"（同时要满足）→ 乘法；出现"或"（只需满足一个）→ 加法。
排列：从 n 个不同元素中取出 m 个（m ≤ n）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
排列数：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Aₙᵐ。
Aₙᵐ = n(n − 1)(n − 2)…(n − m + 1)
其中右边共有 m 个因数相乘。
全排列：从 n 个不同元素中取出 n 个元素的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，其排列数为
Aₙⁿ = n! = n(n − 1)(n − 2)…×2×1
规定 0! = 1。
阶乘形式：Aₙᵐ = n! / (n − m)!。
① 排列的"有序性"——同一个集合中的元素，按不同的顺序排列，算作不同的排列。例如"甲乙"与"乙甲"是两个不同的排列。
② 排列数的计算公式：
③ 排列数常用值：
| 式子 | 值 |
|---|---|
| Aₙ¹ | n |
| Aₙ² | n(n−1) |
| Aₙⁿ | n! |
| Aₙⁿ⁻¹ | n!/1! = n! |
④ 用排列解决的问题特征：
👉 口诀：有序用排列（A），无序用组合（C）。
从 5 名同学中选 3 名分别担任班长、副班长、学习委员，有多少种不同的选法？
📌 口诀：职务不同、位置不同 → 排列；只是"选出" → 组合。
计算 A₅³ ÷ 3!
📌 要点：Aₙᵐ = n!/(n−m)!，注意分母是 (n−m)!，不是 n!。
组合：从 n 个不同元素中取出 m 个（m ≤ n）元素，不考虑顺序，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
组合数：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 Cₙᵐ。
Cₙᵐ = Aₙᵐ / m! = n! / [m!(n − m)!]
组合数的性质：
· Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ（对称性）；
· Cₙᵐ = Cₙ₋₁ᵐ + Cₙ₋₁ᵐ⁻¹（递推公式，帕斯卡恒等式）；
· Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1。
① 组合与排列的区别：
| 对比项 | 排列 Aₙᵐ | 组合 Cₙᵐ |
|---|---|---|
| 是否考虑顺序 | 是 | 否 |
| 典型情境 | 排座位、排数字、分配职务 | 选人、选物、分组 |
| 公式 | n!/(n−m)! | n!/[m!(n−m)!] |
| 关系 | Aₙᵐ = Cₙᵐ · m! | Cₙᵐ = Aₙᵐ / m! |
② 组合数的对称性——Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ，含义是"选 m 个"与"留下 n−m 个"是一一对应的。
例：C₅² = C₅³ = 10。
③ 帕斯卡恒等式——Cₙ₋₁ᵐ + Cₙ₋₁ᵐ⁻¹ = Cₙᵐ。这是杨辉三角的生成公式。
④ 组合数的常见值：
👉 口诀：选人、选物、分组用组合；排座位、分配职务、排数字用排列。
将 4 本不同的书平均分成 2 组（每组 2 本），有多少种分法？
📌 口诀：平均分组无顺序，除以组数的阶乘。
从 5 人中选 3 人参加座谈会，有多少种选法？
📌 口诀：只看"选出"→组合；看"排列位置/职务"→排列。
二项式定理：对于任意正整数 n，有
(a + b)ⁿ = Cₙ⁰aⁿ + Cₙ¹aⁿ⁻¹b + Cₙ²aⁿ⁻²b² + … + Cₙⁿbⁿ
其中右边的式子叫做 (a + b)ⁿ 的二项展开式，共有 n + 1 项。
通项公式：展开式的第 k+1 项为
T_(k+1) = Cₙᵏ · a^(n−k) · b^k
二项式系数的性质：
· 对称性：Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ；
· 所有二项式系数之和：Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ；
· 奇数项系数之和 = 偶数项系数之和 = 2^(n−1)；
· 中间项的二项式系数最大。
① 二项式系数 vs 项的系数：
例：(2x − 1)³ 的展开式中，x² 项是 T_(k+1) = C₃ᵏ · (2x)^(3−k) · (−1)^k。
② 通项公式的记忆——"a 的指数从 n 降到 0，b 的指数从 0 升到 n"。
T_(k+1) = Cₙᵏ · a^(n−k) · b^k
注意：这里的 k 从 0 开始，第 k+1 项对应的是 b 的指数为 k。
③ 二项展开式共有 n+1 项——从"b 的指数为 0"到"b 的指数为 n"，共 n+1 项。
④ 赋值法求系数和：
👉 口诀：通项公式"倒着来"——a 的指数递减，b 的指数递增。
求 (2x + 1)⁵ 展开式中 x³ 项的二项式系数和系数。
📌 口诀：二项式系数只是 Cₙᵏ；项的系数要把所有常数因子都乘进去。
求 (x − 2)⁵ 展开式中 x² 的系数。
📌 要点：负号要和 b 一起看，(−2)^k 的符号由 k 的奇偶性决定。
求 (x + 1/x)⁶ 展开式中的常数项。
📌 要点：常数项 = "x 的指数为 0"的项。
计数原理是上海高考数学的稳定考点，每年必考，且近年重要性显著提升。本章主要考查位置：
近五年上海卷中，排列组合从"难点非重点"变为"既是难点又是重点"。2026 年第 6 题考查二项式展开系数；2026 年第 12 题和第 21 题都融入排列组合相关知识点。掌握好本章，是稳定拿分的关键。