设函数 y = f(x) 在 x₀ 及其附近有定义，当自变量 x 从 x₀ 变到 x₀ + Δx 时，函数值的变化量 Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀)。若极限 lim(Δx→0) Δy/Δx 存在，则称函数 f(x) 在 x₀ 处可导，并称这个极限为 f(x) 在 x₀ 处的导数，记作 f'(x₀) 或 y'|_(x=x₀)。
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) − f(x₀)] / Δx
导数的几何意义：f'(x₀) 是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率。
曲线在该点处的切线方程为：y − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀)。
导数的物理意义：若 s(t) 是位移函数，则 s'(t₀) 是 t₀ 时刻的瞬时速度。
① 平均变化率——Δy/Δx = [f(x₀ + Δx) − f(x₀)]/Δx 表示函数在区间 [x₀, x₀ + Δx] 上的平均变化率，几何意义是割线的斜率。
② 瞬时变化率——当 Δx → 0 时，如果 Δy/Δx 趋于一个确定值，这个值就是导数，几何意义是切线的斜率。
③ 割线到切线的"极限过程"：
④ 常用的两个极限形式：
👉 要点：导数是"局部"概念，只反映 x₀ 附近函数的变化情况。
求曲线 y = x² 过点 (3, 5) 的切线方程。
📌 口诀："在点处的切线"——切点已知；"过点的切线"——切点未知，需设。
已知 f'(x₀) = 2，求 lim(Δx→0) [f(x₀ − 2Δx) − f(x₀)] / Δx。
📌 要点：用定义式时，分母必须与函数值的增量一致。
基本初等函数的导数公式：
· C' = 0（C 为常数）；
· (xⁿ)' = n·x^(n−1)（n ∈ Q）；
· (sin x)' = cos x；
· (cos x)' = −sin x；
· (aˣ)' = aˣ ln a（a > 0, a ≠ 1）；
· (eˣ)' = eˣ；
· (log_a x)' = 1/(x ln a)（a > 0, a ≠ 1）；
· (ln x)' = 1/x。
导数的四则运算：
· [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；
· [f(x)·g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)（乘法法则）；
· [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) − f(x)g'(x)] / [g(x)]²（g(x) ≠ 0，除法法则）。
复合函数求导（链式法则）：设 y = f(u)，u = g(x)，则
y'(x) = f'(u)·g'(x)，即 dy/dx = (dy/du)·(du/dx)。
① 第一层：基本公式——必须背熟"八条公式"。重点记忆：(xⁿ)' = nx^(n−1)、(sin x)' = cos x、(eˣ)' = eˣ、(ln x)' = 1/x。
② 第二层：四则运算：
③ 第三层：复合函数（链式法则）——从外到内逐层求导，每层乘以内层函数的导数。
例：(sin 2x)' = cos 2x · (2x)' = 2cos 2x。
④ 常见的复合函数类型：
👉 要点：链式法则的核心是"从外到内，逐层求导，层层相乘"。
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| C（常数） | 0 |
| xⁿ | n·x^(n−1) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ ln a |
| ln x | 1/x |
| log_a x | 1/(x ln a) |
求 y = x²·sin x 的导数。
📌 口诀：前导后不导，加前不导后导。
求 y = sin(3x) 的导数。
📌 口诀：链式法则，层层相乘，不要漏内层。
求 y = x/(x+1) 的导数。
📌 口诀：子导母减母导子，分母平方别忘记。
设函数 f(x) 在某个区间内可导：
· 若在区间内恒有 f'(x) > 0，则 f(x) 在该区间内单调递增；
· 若在区间内恒有 f'(x) < 0，则 f(x) 在该区间内单调递减。
反之：若 f(x) 在区间内单调递增，则 f'(x) ≥ 0；若 f(x) 在区间内单调递减，则 f'(x) ≤ 0。
求单调区间的步骤：
① 确定函数定义域；
② 求导数 f'(x)；
③ 解不等式 f'(x) > 0（递增）或 f'(x) < 0（递减）；
④ 写出单调区间。
① 充分不必要——
严格来说：f(x) 在区间内递增 ⟺ f'(x) ≥ 0 且 f'(x) 不恒等于 0。
② 求单调区间的注意事项：
③ 含参函数的单调性讨论：
👉 要点：求单调区间必须"定义域优先"，先定定义域再解不等式。
求函数 f(x) = ln x − x 的单调递增区间。
📌 口诀：求单调区间必须先定定义域。
函数 f(x) = 1/x 的单调递减区间是 ______。
📌 口诀：单调区间用"和"，不用"∪"。
极值：设函数 f(x) 在点 x₀ 附近有定义：
· 若对 x₀ 附近的任意 x，都有 f(x) < f(x₀)，则称 f(x₀) 是 f(x) 的一个极大值，x₀ 是极大值点；
· 若对 x₀ 附近的任意 x，都有 f(x) > f(x₀)，则称 f(x₀) 是 f(x) 的一个极小值，x₀ 是极小值点。
极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点。
求极值的步骤：
① 求导数 f'(x)；
② 令 f'(x) = 0，求出所有驻点；
③ 判断 f'(x) 在驻点两侧的符号：
· 左正右负：极大值点；
· 左负右正：极小值点；
· 两侧同号：不是极值点。
最值：函数在闭区间 [a, b] 上的最大值、最小值，只需比较所有极值和端点值 f(a)、f(b) 即可。
| 对比项 | 极值 | 最值 |
|---|---|---|
| 范围 | 局部（某点附近） | 整体（整个定义域或给定区间） |
| 个数 | 可能有多个 | 最多一个最大值、一个最小值 |
| 存在性 | 极值点处 f'(x) = 0 或不存在 | 闭区间连续函数必有最值 |
| 关系 | 极值 ≠ 最值 | 最值 = max(极值, 端点值) |
两个重要提醒：
① f'(x₀) = 0 不一定是极值点——如 f(x) = x³ 在 x = 0 处 f'(0) = 0，但函数在 R 上单调递增，没有极值。
② 极值点也可能出现在 f'(x) 不存在处——如 f(x) = |x| 在 x = 0 处 f'(0) 不存在，但 x = 0 是极小值点。
③ 求闭区间 [a, b] 上最值的步骤：
👉 口诀：极值看"局部"，最值看"整体"；求最值别忘了"端点"。
判断：如果 f'(x₀) = 0，那么 x₀ 一定是 f(x) 的极值点。
求 f(x) = x³ − 3x 在 [0, 3] 上的最大值和最小值。
📌 口诀：闭区间求最值，别忘端点值。
利用导数解决实际优化问题的一般步骤：
① 审题：分析问题中的变量关系和目标，明确"要优化什么"；
② 建模：设自变量、因变量，建立目标函数关系式 y = f(x)；
③ 确定定义域：根据问题的实际意义确定 x 的取值范围；
④ 求导：求 f'(x)，找驻点；
⑤ 求最值：比较驻点和端点的函数值，或根据单调性判断；
⑥ 还原：把数学结论转回实际问题的答案。
常见模型：
· 利润最大：利润 = 收入 − 成本；
· 用料最省：表面积、容积、周长；
· 效率最高：时间最省、速度最快。
① 必须考虑定义域——实际问题中，自变量往往有实际范围限制（如长度、时间、价格都为正数）。求解时必须在实际定义域内找最值。
② 必须验证最值点——如果驻点不在实际定义域内，则最值在端点处取得。
③ 常见的"单峰"情形——如果目标函数在定义域内只有一个驻点且在该点从增到减（或从减到增），那么这个驻点就是最值点，无需再比较端点。
④ 经典问题示例：
👉 口诀：建模 → 求导 → 验范围 → 得最值。
用长 20 米的篱笆围矩形花园（一面靠墙），求最大面积时，设垂直墙边长为 x，但解方程 S'(x) = 0 得 x = 5。若方程组有多解，只取最值。
用长 20 米的篱笆围矩形（四面都要篱笆），求最大面积。
📌 要点：建模必须根据题目的具体条件写变量关系，不能套用"常见模型"。
导数是上海高考数学的绝对核心，每年必考，且几乎总是出现在压轴题中。本章主要考查位置：
近五年上海卷中，导数解答题（通常第 21 题，18 分）是高考数学的"最难点"。2026 年第 21 题是函数新定义与导数综合；2025 年第 20 题考查导数与单调性；2023 年第 21 题考查导数与数列综合。掌握好本章，是冲刺 140+ 的必经之路。