椭圆的定义：平面内到两个定点 F₁、F₂ 的距离之和等于常数（大于 |F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。两定点 F₁、F₂ 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
标准方程：
· 焦点在 x 轴上：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）；
· 焦点在 y 轴上：y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）。
几何性质（以 x²/a² + y²/b² = 1 为例）：
· 范围：−a ≤ x ≤ a，−b ≤ y ≤ b；
· 对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；
· 顶点：(±a, 0)、(0, ±b)；
· 长轴长 2a，短轴长 2b；
· a² = b² + c²（其中 c 为半焦距）；
· 离心率 e = c/a，且 0 < e < 1。e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆。
① 三个基本量 a、b、c 的关系：
a² = b² + c²
· a 是长半轴（最大）；
· b 是短半轴；
· c 是半焦距。所以 a > b 且 a > c，但 b 与 c 的大小关系不确定。
② 如何判断焦点的位置——看标准方程中哪个分母大：
③ 离心率 e = c/a 的几何意义：
👉 要点：无论焦点在哪条轴上，永远有 a > b > 0 且 a² = b² + c²。
求椭圆 x²/9 + y²/16 = 1 的焦点坐标。
📌 口诀：焦点在哪轴，看哪个分母大。
已知椭圆 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）的长轴长为 10，短轴长为 6，求 a、b。
📌 要点：a、b 是"半轴"，长轴长和短轴长是"2a、2b"。
判断：平面内到两定点 F₁、F₂ 的距离之和为常数（即 2a）的点的轨迹是椭圆。
双曲线的定义：平面内到两个定点 F₁、F₂ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 |F₁F₂| 且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。两定点 F₁、F₂ 叫做双曲线的焦点。
标准方程：
· 焦点在 x 轴上：x²/a² − y²/b² = 1（a > 0, b > 0）；
· 焦点在 y 轴上：y²/a² − x²/b² = 1（a > 0, b > 0）。
几何性质（以 x²/a² − y²/b² = 1 为例）：
· 范围：x ≤ −a 或 x ≥ a；
· 对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；
· 顶点：(±a, 0)；
· 实轴长 2a，虚轴长 2b；
· c² = a² + b²（其中 c 为半焦距，且 c > a, c > b）；
· 离心率 e = c/a，且 e > 1；
· 渐近线：y = ±(b/a)x。
| 对比项 | 椭圆 | 双曲线 |
|---|---|---|
| 定义 | |PF₁| + |PF₂| = 2a | ||PF₁| − |PF₂|| = 2a |
| a、b、c 关系 | a² = b² + c² | c² = a² + b² |
| a、b 大小 | a > b > 0 | a 与 b 无固定大小关系 |
| 离心率 | 0 < e < 1 | e > 1 |
| 特殊性质 | 无渐近线 | 渐近线 y = ±(b/a)x |
关键区别：
渐近线的作用——双曲线的两支无限延伸，越来越接近渐近线但永不相交。渐近线方程 y = ±(b/a)x 可以直接从标准方程读出：把"1"换成"0"，得 x²/a² − y²/b² = 0，即 y = ±(b/a)x。
等轴双曲线——当 a = b 时，渐近线为 y = ±x（互相垂直），离心率 e = √2，称为等轴双曲线。
👉 口诀：椭圆 a 最大，双曲线 c 最大；双曲线渐近线看"把 1 换成 0"。
已知双曲线 x²/9 − y²/16 = 1，求 a² + b² 与 c² 的关系。
📌 口诀：椭圆 a 最大，双曲线 c 最大。
求双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的渐近线方程。
已知双曲线的焦点在 y 轴上，a = 3，b = 4。求标准方程。
📌 要点：焦点在 y 轴时，渐近线公式变为 y = ±(a/b)x。
抛物线的定义：平面内到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
标准方程（四种形式）：
· y² = 2px（p > 0）：焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2；
· y² = −2px（p > 0）：焦点 (−p/2, 0)，准线 x = p/2；
· x² = 2py（p > 0）：焦点 (0, p/2)，准线 y = −p/2；
· x² = −2py（p > 0）：焦点 (0, −p/2)，准线 y = p/2。
几何性质（以 y² = 2px 为例）：
· 范围：x ≥ 0，y ∈ R；
· 对称轴：x 轴；
· 顶点：原点 O(0, 0)；
· 离心率：e = 1；
· 通径长：2p（过焦点垂直于对称轴的弦）。
① 抛物线的本质——抛物线是"到定点距离 = 到定直线距离"的点的轨迹。这个定义比椭圆、双曲线更"简洁"。
② 四种标准方程的对照：
| 方程 | 开口方向 | 焦点 | 准线 |
|---|---|---|---|
| y² = 2px | 向右 | (p/2, 0) | x = −p/2 |
| y² = −2px | 向左 | (−p/2, 0) | x = p/2 |
| x² = 2py | 向上 | (0, p/2) | y = −p/2 |
| x² = −2py | 向下 | (0, −p/2) | y = p/2 |
③ 焦点与准线的"对称性"——焦点和准线关于顶点对称：
④ 抛物线焦半径公式——对 y² = 2px 上一点 P(x₀, y₀)，有 |PF| = x₀ + p/2。
👉 口诀：抛物线看"一次项"——一次项是 x，开口沿 x 轴；一次项是 y，开口沿 y 轴。系数正负决定开口方向。
求抛物线 y² = 4x 的焦点坐标。
抛物线 x² = −4y 的准线方程是 ______。
判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常用联立方程组的方法：
① 把直线方程和圆锥曲线方程联立；
② 消元（通常消去 y）得到一个一元二次方程（或一元一次方程）；
③ 用判别式 Δ 判断交点个数：
· Δ > 0：两个交点；
· Δ = 0：一个交点（相切）；
· Δ < 0：没有交点。
弦长公式：直线与圆锥曲线相交于 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，斜率为 k，则
|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂|
或
|AB| = √(1 + k²) · √Δ / |a|
（其中 a 是联立后二次方程 x² 的系数，Δ 是该方程的判别式）
① 标准流程：
② 弦长公式的两种形式：
当直线是 x = my + c 形式时（斜率可能不存在），用 |AB| = √(1 + m²) · |y₁ − y₂| 更方便。
③ 韦达定理的应用：
👉 要点：联立方程组必须验证 Δ > 0，否则可能无交点或相切。这是解答题中最容易失分的地方。
已知直线 l 过点 P(0, 1)，与抛物线 y² = 4x 交于 A、B 两点，求直线 l 的方程。
📌 口诀：设直线方程先看斜率是否存在。
已知直线 y = kx + 1 与椭圆 x²/4 + y² = 1 有两个交点，求 k 的取值范围。
📌 要点：判断交点个数必须计算判别式。
圆锥曲线的综合问题通常涉及：
① 求轨迹方程——根据条件建立动点坐标 (x, y) 的关系式；
② 求最值——转化为函数、不等式或几何最值问题；
③ 定值、定点问题——证明某些量恒为定值，或某些点/直线恒过定点；
④ 与向量、数列等综合——把几何条件转化为代数式。
① 审清几何条件，转化为代数式——如"以 AB 为直径的圆过原点" ⟺ OA ⊥ OB ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0。
② 联立方程，用韦达定理——把几何条件转化为 x₁ + x₂、x₁x₂ 的关系。
③ 化简求值或证明——用代数运算得到最终结论。
常见的几何条件转化：
| 几何条件 | 代数表达 |
|---|---|
| OA ⊥ OB | x₁x₂ + y₁y₂ = 0 |
| OA ∥ OB | x₁y₂ − x₂y₁ = 0 |
| |OA| = |OB| | x₁² + y₁² = x₂² + y₂² |
| M 是 AB 中点 | M 的坐标为 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
| 点 P 在直线 AB 上 | P 的坐标满足直线方程 |
👉 要点：圆锥曲线综合题本质上是"几何条件 → 代数运算 → 几何结论"的转化过程。
已知椭圆与直线相交于 A、B 两点，O 为原点。若"以 AB 为直径的圆过原点"，求代数条件。
📌 要点：先想清楚几何条件到底意味着什么，再转化为代数式。
已知直线与椭圆交于两点，求参数 m 的取值范围，仅由 Δ > 0 求得。
📌 要点：把所有几何条件都转化为代数式，综合求解。
圆锥曲线是上海高考数学的重头戏，每年必考，且常作为压轴题出现。本章主要考查位置：
近五年上海卷中，解析几何解答题（通常第 20 题，18 分）几乎都是圆锥曲线综合题。2026 年第 12 题考查椭圆离心率、第 20 题是解析几何综合；2025 年第 20 题考查双曲线与直线综合。掌握好本章，是冲刺高分的必经之路。