第16章 直线与圆

① 斜率的"两个特殊情况"：

• 倾斜角 α = 0：直线平行于 x 轴，斜率 k = 0；
• 倾斜角 α = π/2：直线垂直于 x 轴，斜率不存在（此时直线方程写成 x = x₀ 的形式）。

② 斜率 k 的符号与倾斜角的关系：

• 0 < α < π/2：k > 0（上升）；
• α = π/2：k 不存在；
• π/2 < α < π：k < 0（下降）。

③ 用点斜式设直线时的常见陷阱——若直线可能垂直于 x 轴，则不能直接设 y − y₁ = k(x − x₁)，必须单独讨论 x = x₁ 的情形。

👉 记忆口诀：设直线方程先看斜率——斜率不存在单独讨论。

① 一般式下的判据（推荐，不用讨论斜率）：

② 用"秩"简化记忆（了解）：设两直线系数矩阵的秩为 r：

• r = 2：相交；
• r = 1 且增广矩阵秩为 1：重合；
• r = 1 且增广矩阵秩为 2：平行。

③ 斜率法的适用限制：只有当两条直线的斜率都存在时，才能用 k₁、k₂ 判断。若有一条斜率不存在，需要单独讨论。

👉 口诀：一般式判平行看"AB 交叉"，判垂直看"AA + BB"。

① 两点间距离——本质是勾股定理，也可以看成"向量 P₁P₂ 的模"。

② 点到直线距离：

• 分子必须加绝对值（距离非负）；
• 分母是"系数向量的模"√(A² + B²)；
• 直线必须写成一般式（Ax + By + C = 0）才能套公式。

③ 两平行线间距离：

• 必须先把两条直线化为A、B 系数相同的形式（比如都写成 x + 2y + C = 0）；
• 若系数不同，先化同再代入公式。

👉 口诀：点到直线看"绝对值"，平行线间看"常数差"。

① 从标准式到一般式：展开并整理。

(x − a)² + (y − b)² = r²
⟹ x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² = r²
⟹ x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0。

与 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 对比得：D = −2a，E = −2b，F = a² + b² − r²。

② 从一般式到标准式：用配方法。

x² + y² + Dx + Ey + F = 0
⟹ (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E² − 4F)/4。
所以圆心 (−D/2, −E/2)，r = √(D² + E² − 4F)/2。

③ 判断是否表示圆——看 D² + E² − 4F 的符号：

• > 0：表示圆；
• = 0：表示一个点（圆心）；
• < 0：不表示任何图形。

👉 口诀：一般式配方得标准，圆心 = 半系数反号，半径 = √(D²+E²−4F)/2。

① 判断直线与圆的位置关系——优先用距离法：

1. 把直线化为一般式；
2. 把圆化为标准式，读出圆心和半径；
3. 用点到直线距离公式求 d；
4. 比较 d 与 r：d < r 相交、d = r 相切、d > r 相离。

② 圆与圆的关系——用"圆心距"判定：圆心距 d = √[(x₁−x₂)² + (y₁−y₂)²]。

③ 弦长公式——当直线与圆相交时：

设圆心到直线的距离为 d，圆半径为 r，则弦长 |AB| = 2√(r² − d²)。

④ 切线问题：

• 过圆外一点有两条切线；
• 过圆上一点有且只有一条切线；
• 切线垂直于过切点的半径。

👉 口诀：直线和圆判关系，比较距离与半径；圆和圆判关系，比较圆心距与"半径和/差"。