按一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（首项）、第 2 项、…、第 n 项，记作 a₁, a₂, …, aₙ, …。数列的一般形式为 a₁, a₂, …, aₙ, …，简记作 {aₙ}。
数列的分类（按项数）：
· 有穷数列：项数有限；
· 无穷数列：项数无限。
通项公式：如果数列 {aₙ} 的第 n 项 aₙ 与序号 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
前 n 项和：数列 {aₙ} 的前 n 项之和记作 Sₙ，即 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ。
aₙ 与 Sₙ 的关系：
· 当 n = 1 时，a₁ = S₁；
· 当 n ≥ 2 时，aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁。
① 数列与函数的关系——数列 {aₙ} 可以看作定义域为正整数集 N* 的函数：n ↦ aₙ。所以研究数列的性质（单调性、最值等）本质上就是研究函数的性质。
② 数列的三种表示方法：
③ 通项公式不唯一——同一个数列可以有多个通项公式。例如数列 1, 0, 1, 0, 1, 0, … 可以由 aₙ = (1 + (−1)^(n+1))/2 表示，也可以由分段函数表示。
④ aₙ 与 Sₙ 的转化是重点：
aₙ = { S₁, n = 1；Sₙ − Sₙ₋₁, n ≥ 2 }
👉 关键：用 Sₙ − Sₙ₋₁ 求 aₙ 时，必须单独验证 n = 1 的情形！这是数列大题中最常见的失分点。
已知 Sₙ = n² + 1，求 aₙ。
📌 口诀：Sₙ 求 aₙ，必须检验首项。
判断：数列 1, 2, 3 与数列 3, 2, 1 是同一个数列。
📌 要点：数列讲"顺序"，集合讲"无序"。
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
递推公式：aₙ₊₁ − aₙ = d（n ∈ N*）。
通项公式：aₙ = a₁ + (n − 1)d。
更一般地：aₙ = aₘ + (n − m)d（对任意 m, n 成立）。
前 n 项和公式：
· Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2；
· Sₙ = n·a₁ + n(n − 1)d / 2。
等差中项：若 A 是 a 与 b 的等差中项，则 2A = a + b，即 A = (a + b)/2。
性质：若 {aₙ} 是等差数列，则：
· aₙ = aₘ + (n − m)d；
· 若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q；
· Sₙ 也是关于 n 的二次函数（无常数项）：Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n。
① 通项公式 aₙ = a₁ + (n−1)d 的本质——从首项 a₁ 出发，每走一步增加 d，走 n−1 步到达 aₙ。所以：
② 前 n 项和 Sₙ 的两个公式：
③ Sₙ 的最值问题——因为 Sₙ 是关于 n 的二次函数（开口方向由 d 决定），所以：
求最值方法：找到"最后一项 ≥ 0 且下一项 ≤ 0"的位置（d < 0 时）。
👉 常用技巧：已知 aₘ 和 aₙ 时，直接用 aₙ = aₘ + (n−m)d 求 d，比设 a₁ 更简单。
| 公式名称 | 表达式 |
|---|---|
| 通项公式 | aₙ = a₁ + (n−1)d |
| 推广公式 | aₙ = aₘ + (n−m)d |
| 前 n 项和（首末项） | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 |
| 前 n 项和（首项公差） | Sₙ = na₁ + n(n−1)d/2 |
| 等差中项 | A = (a + b)/2 |
| 性质 | m + n = p + q ⟹ aₘ + aₙ = aₚ + a_q |
已知 a₂ = 5，a₅ = 14，求 d。
📌 要点：推广公式中的系数是 n − m，不是 n。
已知等差数列 {aₙ} 中 a₁ = 10，d = −2，求 Sₙ 的最大值。
📌 要点：d < 0 时 Sₙ 最大值在"最后一项 ≥ 0"的位置；aₙ = 0 的项无论算在哪一边都不影响 Sₙ。
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q ≠ 0）。
递推公式：aₙ₊₁ / aₙ = q（n ∈ N*）。
通项公式：aₙ = a₁ · q^(n−1)。
推广：aₙ = aₘ · q^(n−m)。
前 n 项和公式：
· 当 q = 1 时：Sₙ = n·a₁；
· 当 q ≠ 1 时：Sₙ = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q) = (a₁ − aₙq) / (1 − q)。
等比中项：若 G 是 a 与 b 的等比中项，则 G² = ab，即 G = ±√(ab)（要求 ab > 0）。
性质：若 {aₙ} 是等比数列，则：
· 若 m + n = p + q，则 aₘ · aₙ = aₚ · a_q。
① 公比 q ≠ 0 且 a₁ ≠ 0——如果 a₁ = 0 或 q = 0，后面所有的项都变成 0，退化成常数列 {0}，通常不作为"等比数列"研究。所以要求 a₁ ≠ 0 且 q ≠ 0。
② Sₙ 公式必须讨论 q = 1——这是等比数列大题中最常见的失分点！
含参问题中，必须先讨论 q = 1 和 q ≠ 1 两种情况。
③ 等比数列的"走势"：
👉 记忆口诀：等比求和先看 q，q=1 时直接 na₁；q≠1 用公式，分子分母别写反。
已知等比数列 {aₙ} 中 a₁ = 3，S₃ = 9，求公比 q。
📌 要点：含参等比数列求和，先讨论 q = 1，再用 q ≠ 1 的公式。
求 4 与 9 的等比中项。
📌 口诀：等比中项有两个，一正一负；等差中项只有一个。
数列求和没有"万能公式"，需要根据数列的特点选择合适的方法。常用方法：
① 公式法：直接用等差、等比数列的前 n 项和公式；
② 分组求和法：把数列分成几个可以求和的子数列；
③ 裂项相消法：把每一项拆成两项之差，求和时中间项相互抵消；
④ 错位相减法：适用于"等差 × 等比"形式的数列；
⑤ 倒序相加法：适用于首尾对称的数列（如 aₙ = n/(n+1) 型对称结构）。
① 裂项相消法（最常用、最容易错）：
| 常见形式 | 裂项公式 |
|---|---|
1/[n(n+1)] | 1/n − 1/(n+1) |
1/[n(n+k)] | (1/k)·[1/n − 1/(n+k)] |
1/[(2n−1)(2n+1)] | (1/2)·[1/(2n−1) − 1/(2n+1)] |
1/[√(n+1) + √n] | √(n+1) − √n |
n/(n+1)! 或 1/n! − 1/(n+1)! | — |
② 错位相减法（适用于 aₙ = (等差) × (等比)）：
步骤：
③ 分组求和法：如 {2n + 3ⁿ}，可分成 {2n} 和 {3ⁿ} 分别求 Sₙ 再相加。
④ 倒序相加法：如 {aₙ} 满足 aₖ + aₙ₊₁₋ₖ = 常数，则 Sₙ 可以与倒序的 Sₙ 相加求得。
👉 方法选择的判断：
| 方法 | 适用特征 | 例子 |
|---|---|---|
| 公式法 | 等差或等比 | {2n}, {3ⁿ} |
| 分组求和 | 可分成几组 | {2n + 3ⁿ} |
| 裂项相消 | 分母为乘积的分式 | {1/[n(n+1)]} |
| 错位相减 | 等差 × 等比 | {n·2ⁿ} |
| 倒序相加 | 首尾对称 | {n/(n+1)} 型组合 |
求数列 1/(2×4), 1/(4×6), 1/(6×8), …, 1/[(2n)(2n+2)] 的前 n 项和。
📌 要点：当分母两项之差不为 1 时，需要提取相应的系数。
求 Sₙ = 1·3 + 2·3² + 3·3³ + … + n·3ⁿ。
求数列 {2ⁿ + n} 的前 n 项和 Sₙ。
📌 要点：分组求和要"组组都算"，不能漏掉任何一组。
证明与正整数 n 有关的命题 P(n)，可以用数学归纳法，步骤如下：
第一步（基础）：证明 n 取第一个值 n₀（通常 n₀ = 1）时命题成立。
第二步（归纳）：假设 n = k（k ≥ n₀，k ∈ N*）时命题成立，证明 n = k + 1 时命题也成立。
综合两步，即可断定命题对从 n₀ 开始的所有正整数 n 都成立。
① 直观理解——数学归纳法就像"多米诺骨牌"：
② 两步缺一不可：
③ 归纳假设必须使用——第二步证明 n = k+1 时，必须用到"n = k 时命题成立"这个假设，否则就不是数学归纳法。这一点是初学者最容易忽视的地方。
④ 从"n = k"推到"n = k+1"是核心——这一步要找到从"假设项"到"待证项"的"桥梁"。
👉 记忆口诀：两步走，基础 + 递推；假设 k 用一次，证明 k+1 的式子。
用数学归纳法证明 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 时，第二步若直接写出：
"当 n = k+1 时，左边 = (k+1)(k+2)/2 = 右边"。
📌 要点：归纳假设是数学归纳法的"灵魂"，必须显式地使用。
证明 1 + 2 + 2² + … + 2^(n−1) = 2ⁿ − 1 时，第二步中写成：
"当 n = k+1 时，左边 = 1 + 2 + 2² + … + 2^k + 2^(k+1)"。
📌 要点：写 n = k+1 时的左边，要先看通项公式，不要凭感觉加项。
证明"对任意 n ∈ N*，n² + n + 41 是质数"。有人验证 n = 1, 2, …, 40 都成立，就下结论。
📌 要点：数学归纳法的威力在于"从有限推无限"，仅验证有限项不能证明一般命题。
数列是上海高考数学的核心考点，每年必考，且常作为压轴题出现。本章主要考查位置：
近五年上海卷中，数列每年出现在最后一道大题（18分）。2025 年第 21 题考查数列与函数综合；2024 年、2023 年均以数列压轴。掌握好本章基础，是冲刺高分的关键。