与平面向量一样，在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量。空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，箭头方向表示向量的方向。
空间向量 a 的模记作 |a|。长度为 1 的向量叫单位向量，长度为 0 的向量叫零向量（记作 0，方向任意）。
空间向量的线性运算：
· 加法：a + b（三角形法则或平行四边形法则）；
· 减法：a − b = a + (−b)；
· 数乘：λa（λ 为实数）。
运算律与平面向量完全相同：交换律、结合律、分配律。
共线向量：若两个空间向量 a、b（b ≠ 0）的方向相同或相反，则称它们共线（平行），记作 a ∥ b。共线定理：a ∥ b（b ≠ 0）⟺ 存在唯一实数 λ，使 a = λb。
① 空间向量与平面向量的关系——空间向量的概念、运算、运算律与平面向量完全一致。平面向量中成立的结论，在空间向量中依然成立。可以这样理解：空间向量是"多了一个维度"的向量。
② 共线 vs 共面：
③ 空间向量的"自由平移"性质——与平面向量一样，空间向量可以在空间中自由平移，只要大小和方向不变，就是同一个向量。这让我们可以把所有向量平移到同一个起点，方便分析和运算。
👉 记忆要点：空间向量的线性运算与平面向量完全一致，不需要额外记忆新的公式。
判断：若 a ∥ b，则 a、b 所在直线一定平行。
化简：AB + BC + CD。
📌 口诀：字母"消消乐"——AB + BC 中间的 B 消掉，得 AC；再接 CD，中间的 C 消掉，得 AD。
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对于空间中任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使得
p = x·a + y·b + z·c
不共面的三个向量 a、b、c 称为空间的一个基底，记作 {a, b, c}。x、y、z 叫做 p 在基底 {a, b, c} 下的坐标。
推论：
· 若 p 与 a、b 共面，则存在唯一实数对 (x, y)，使 p = x·a + y·b（平面向量基本定理）；
· 设 O、A、B、C 是空间中不共面的四点，则对空间中任意一点 P，存在唯一有序实数组 (x, y, z)，使 OP = x·OA + y·OB + z·OC。
① 空间的维度是 3——平面向量基本定理用 2 个不共线的基底表示任意平面向量；空间向量基本定理用 3 个不共面的基底表示任意空间向量。这从"向量"的角度解释了"空间是三维的"。
② 为什么必须"不共面"——如果三个向量共面，它们只能张成一个平面，无法表示不在这个平面内的向量。
③ 基底选择的重要性——空间向量基本定理告诉我们"基底可以随便选（只要不共面）"，但实际解题中，选择"合适"的基底会让计算大大简化。常用策略：
👉 重要提醒：空间中任意一个向量都可以用一组基底"唯一"表示。这一"唯一性"是后续坐标运算的基础。
判断：若 a、b、c 两两不共线，则 {a, b, c} 构成空间的一个基底。
判断：任何空间向量在给定基底下的表示系数是唯一的。
在空间中，取三个两两垂直的单位向量 i、j、k 作为基底，以它们的公共起点 O 为原点，分别以 i、j、k 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz。
对于空间任意向量 a，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使 a = x·i + y·j + z·k，则称 (x, y, z) 为向量 a 的坐标，记作 a = (x, y, z)。
坐标运算：设 a = (x₁, y₁, z₁)，b = (x₂, y₂, z₂)，λ ∈ R，则：
· a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)；
· a − b = (x₁ − x₂, y₁ − y₂, z₁ − z₂)；
· λa = (λx₁, λy₁, λz₁)。
向量的坐标：设 A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，则 AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁)。
① 空间直角坐标系——三根坐标轴两两垂直，构成右手系：右手四指从 x 轴弯向 y 轴，拇指指向 z 轴正方向。
② 点的坐标与向量坐标的关系：
③ 坐标法的优势——把空间向量转化为三维实数对，让向量的加、减、数乘、数量积都变成了"数的运算"，大大简化了立体几何问题的计算。
👉 常用技巧：解立体几何问题时，若能找到"三条两两垂直的棱"作为坐标轴，就优先建立空间直角坐标系，把问题转化为坐标运算。
已知点 A(1, 2)，B(3, 5)（平面情形），判断：向量 AB 的坐标是 (3, 5)。
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，若以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AA₁ 为 y 轴正方向，AD 为 z 轴正方向，求 B 的坐标。
📌 要点：建立坐标系时，"哪条棱对应哪个轴"必须明确，不同设定下点的坐标不同。
已知两个非零向量 a、b，在空间中任取一点 O，作 OA = a，OB = b，则 ∠AOB 叫做 a 与 b 的夹角，记作 ⟨a, b⟩，取值范围是 [0, π]。
数量 |a|·|b|·cos⟨a, b⟩ 叫做 a 与 b 的数量积（内积），记作 a·b，即
a · b = |a|·|b|·cos⟨a, b⟩
坐标形式：若 a = (x₁, y₁, z₁)，b = (x₂, y₂, z₂)，则
a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
重要性质：
· |a|² = a · a = x₁² + y₁² + z₁²；
· a ⊥ b ⟺ a · b = 0 ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0；
· cos⟨a, b⟩ = (a · b) / (|a|·|b|)；
· |a ± b|² = |a|² ± 2a·b + |b|²。
① 公式形式完全相同——只是从"两个分量"扩展到了"三个分量"。这是空间向量"高维推广"的特点：形式上不变，只是多了 z 分量。
② 三种求夹角的方法（对应不同情形）：
③ 三个常用的"重要结论"：
👉 记忆：空间数量积与平面数量积"形同义同"，唯一区别是分量个数。
已知 a = (1, 2, 3)，求 2a 与 a·a。
📌 口诀：数乘得向量，数量积得实数。
已知两个方向向量 a = (−1, 2, 0) 与 b = (3, 0, 1)，求它们所代表直线（假设不平行）所成的角。
📌 口诀：直线夹角 ≤ 90°，cos 取绝对值。
已知 a = (1, m, 2)，b = (2, −1, 1)，若 a ⊥ b，求 m 的值。
方向向量与法向量：
· 直线的方向向量：与直线平行的非零向量；
· 平面的法向量：与平面垂直的非零向量。若 n ⊥ 平面 α 且 n ⊥ 平面 α 内两条相交直线，则 n 是平面 α 的一个法向量。
线面角公式：设直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成角为 θ，则
sin θ = |cos⟨s, n⟩| = |s·n| / (|s|·|n|)
面面角（二面角）公式：设二面角 α-l-β 的两个半平面的法向量分别为 n₁、n₂，二面角大小为 θ，则
|cos θ| = |cos⟨n₁, n₂⟩| = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|)
二面角的取值范围是 [0, π]，需要根据图形判断是锐角还是钝角。
点到平面的距离公式：设点 P 是平面 α 外一点，A 是平面 α 内任意一点，n 是平面 α 的法向量，则点 P 到平面 α 的距离为
d = |AP·n| / |n|
| 问题类型 | 公式 | 关键词 |
|---|---|---|
| 异面直线所成角 | cos θ = |s₁·s₂|/(|s₁||s₂|) | 取绝对值，θ ∈ (0°, 90°] |
| 线面角 | sin θ = |s·n|/(|s||n|) | 用 sin，不是 cos |
| 二面角 | |cos θ| = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) | 先求 |cos|，再判断正负 |
| 点到平面距离 | d = |AP·n|/|n| | 取绝对值，A 是平面内任意点 |
① 线面角为什么用 sin——直线方向向量 s 与法向量 n 的夹角，与线面角 θ 是互余关系（因为 n 垂直于平面）。所以 sin θ = |cos⟨s, n⟩|。
② 二面角的符号判断——用公式先求出 |cos θ|，然后：
③ 求法向量的步骤：
👉 口诀：异面直线用 cos（取绝对），线面角用 sin，二面角先 |cos| 再判符号。
已知直线方向向量 s = (1, 0, −1)，平面法向量 n = (0, 0, 1)，求线面角。
📌 口诀：线面角用 sin，异面直线用 cos。
某题求出 |cos⟨n₁, n₂⟩| = 1/2，且通过图形判断二面角为钝角。求二面角的余弦值。
📌 要点：|cos| 只给出大小，符号要根据图形判断。
求平面 ABC 的法向量。已知 A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(0, 0, 1)。
📌 要点：求法向量的两个向量，必须是平面内的两个不共线向量。
空间向量是上海高考数学立体几何解答题的核心工具。每年必考，主要考查位置：
近五年上海卷中，空间向量一直是立体几何解答题的"标配"。2026 年第 16 题考查空间位置关系；2025 年第 19 题考查二面角；2024 年第 19 题考查线面角。掌握空间向量，就等于拿到立体几何解答题的"钥匙"。