在统计学中，我们研究对象的全体称为总体，其中每一个研究对象称为个体。从总体中抽取部分个体所组成的集合称为样本，样本中所包含的个体的数目称为样本量。
从总体中抽取样本，要保证每个个体被抽到的机会均等，这称为抽样的随机性；抽取的样本要能较好地代表总体，这称为样本的代表性。
三种常用抽样方法：
① 简单随机抽样：设一个总体有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体（n < N），且每个个体被抽到的机会相等。
② 系统抽样（等距抽样）：将总体平均分为若干部分，每部分抽取一个个体，得到所需样本。
③ 分层抽样：将总体按其属性特征分成若干互不重叠的层，然后在每一层中进行简单随机抽样。
| 抽样方法 | 适用场景 | 核心特点 |
|---|---|---|
| 简单随机抽样 | 总体个体较少，差异不大 | 每个个体被抽到的机会均等 |
| 系统抽样 | 总体个体较多，无明显差异 | 按固定间隔抽取，操作简单 |
| 分层抽样 | 总体个体差异明显，可分层 | 每层按比例抽取 |
分层抽样的核心公式：
若总体分为 k 层，第 i 层有 Ni 个个体，样本量为 n，则第 i 层应抽取的个体数为：
ni = n × (Ni / N)
其中 N = N₁ + N₂ + … + Nk 为总体个体总数。
👉 关键：分层抽样中，各层抽取的个体数与该层在总体中的比例一致——"按比例分层"。
某校有教师 100 人，其中高级教师 20 人，中级教师 30 人，初级教师 50 人。用分层抽样抽取 10 人，求各级教师抽取人数。
📌 要点：分层抽样是"按比例"抽取，各层抽到的比例相同，但绝对人数不同。
判断：从 1000 个个体中抽取 50 个，可以随意挑选。
某总体有 1003 个个体，用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本，如何处理？
📌 要点：系统抽样的间隔必须是整数。总体量不能被样本量整除时，先剔除多余个体。
将样本数据按组距等分成若干组，统计各组中数据的频数（该组数据个数）和频率（频数 / 样本量），并绘制成图表：
· 频率分布表：列出每组的频率；
· 频率分布直方图：横轴为"分组"，纵轴为"频率 / 组距"，每个小矩形的面积 = 该组的频率。
各小矩形的面积之和为 1（即 100%）。
① 直方图的核心性质：
② 如何从直方图估算数字特征：
👉 记忆口诀：直方图看面积，纵轴是"频率除组距"，估算均值用组中值。
某频率分布直方图中，某一矩形的高度为 0.02，组距为 5。求该组的频率。
📌 口诀：直方图看面积，纵轴乘组距才是频率。
某直方图的两个矩形，第一个高度 0.02、宽 5，第二个高度 0.03、宽 10。哪个组频率高？
某频率分布直方图各组累计频率前两组为 0.20、0.55。判断中位数在哪一组？
设一组数据为 x₁, x₂, …, xₙ。
平均数（均值）：x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n。
方差：描述数据的离散程度。总体方差用 σ² 表示，样本方差用 s² 表示：
· 总体方差：σ² = [(x₁−x̄)² + (x₂−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²] / n
· 样本方差：s² = [(x₁−x̄)² + (x₂−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²] / (n−1)
标准差：方差的算术平方根。σ = √σ²，s = √s²。
方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大；越小，数据越集中。
① 描述性统计 vs 推断性统计：
② 为什么是 n−1（了解）：样本方差用样本均值 x̄ 代替总体均值 μ，导致离差平方和"偏小"。除以 (n−1) 可以校正这个偏差，使 s² 成为总体方差的无偏估计。
③ 方差的另一种计算公式（简化计算）：
σ² = (x₁² + x₂² + … + xₙ²)/n − x̄²
即：方差 = 平方的平均数 − 平均数的平方。
④ 数据的"平移"与"伸缩"对统计量的影响：
| 变换 | 平均数 | 方差 | 标准差 |
|---|---|---|---|
| 每个数据 +a | x̄ + a | 不变 | 不变 |
| 每个数据 ×k（k > 0） | k·x̄ | k²·σ² | k·σ |
👉 口诀：平移不改方差，伸缩乘平方；平均数全跟着动。
从某总体中抽取的样本为 1, 2, 3, 4, 5，求样本方差。
📌 要点：需要判断数据是"总体"还是"样本"。
已知数据 x₁, x₂, …, xₙ 的平均数 10，方差 4。将每个数乘以 3，求新数据的方差。
📌 口诀：数据乘 k，方差乘 k²，标准差乘 k。
已知数据 x₁, x₂, …, xₙ 的方差为 4。将每个数都加 5，求新数据的方差。
📌 口诀：平移不改方差，伸缩才乘平方。
把一组数据从小到大排列后，处于第 p 个百分位上的数称为这组数据的第 p 百分位数，记作 Pp。它表示：至少有 p% 的数据不超过这个数，且至少有 (100−p)% 的数据不小于这个数。
计算方法：把 n 个数据从小到大排列，计算 i = n·p%。
· 若 i 不是整数，则 Pp 是第 [i]+1 个数据（[i] 表示 i 的整数部分，即向上取整）；
· 若 i 是整数，则 Pp 是第 i 个数据与第 i+1 个数据的平均数。
① 中位数是特殊的百分位数——第 50 百分位数 P₅₀ 就是中位数。
② 常见百分位数：
③ 计算步骤：
👉 注意：不同教材和考试对百分位数的定义可能略有差异。上海高考主要考查概念理解和基本计算，不必纠结于边缘情形。
| 名称 | 总体 | 样本 |
|---|---|---|
| 平均数 | μ（希腊字母 mu） | x̄（x 上加横线） |
| 方差 | σ²（sigma 平方） | s² |
| 标准差 | σ | s |
| 计算方差时除以 | n | n−1 |
求数据 5, 1, 8, 3, 7 的第 50 百分位数。
📌 口诀：求百分位数，先排序！
求数据 10, 20, 30, 40 的第 50 百分位数。
📌 要点：i 为整数时，取第 i 个和第 i+1 个数据的平均数；i 不为整数时，取第 ⌈i⌉ 个数据。
某单位男职工 300 人，女职工 200 人。用分层抽样抽取 25 人，求男女各抽取多少人。
📌 要点：分层抽样按比例分配，各层抽到的比例相同但绝对人数不同。
统计是上海高考数学的必考板块，每年都会考查。除了填空题和选择题，还常与概率结合形成解答题（14分）。本章主要考查位置：
近五年上海卷中，统计题目题型稳定。2026 年第 17 题结合环保数据考查散点图与回归分析；2024 年、2025 年均有统计与概率综合题。掌握本章基础，是稳拿统计解答题的关键。
| 月收入（元） | 频率 |
|---|---|
| [2000, 3000) | 0.10 |
| [3000, 4000) | 0.20 |
| [4000, 5000) | 0.35 |
| [5000, 6000) | 0.25 |
| [6000, 7000] | 0.10 |