第12章概率初步 · 精讲精练

1随机现象与样本空间

教材概念

教材原文

在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，这种现象称为随机现象。对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称试验。

随机试验 E 的每一个可能的结果称为样本点，常用 ω 表示。所有样本点组成的集合称为样本空间，常用 Ω 表示。样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母 A、B、C 等表示。

· 只含一个样本点的事件叫基本事件；

· 样本空间 Ω 本身称为必然事件；

· 空集 ∅ 称为不可能事件。

概念解读

"随机"与"确定"的对立统一

① 随机现象的两种极端——

必然事件：一定发生（如"掷骰子的点数大于 0"）；
不可能事件：一定不发生（如"掷骰子的点数为 7"）；
随机事件：可能发生也可能不发生（如"掷骰子的点数为 6"）。

② 样本空间是"事件的根"——事件本质上是样本空间的子集。把样本空间写清楚，后续讨论事件、求概率才有依据。

③ 表示样本空间的两大方法：

列举法：把所有样本点一个个列出（适合样本点较少的情形）；
树状图法：按"分步"逐层展开（适合多次试验）；
描述法：用条件描述样本点（如 Ω = {(x, y) | x, y ∈ {1, 2, …, 6}}）。

👉 关键：同一随机试验，样本空间的表示可能不唯一，但样本点的总数和"等可能性"必须明确。

① 用树状图表示"抛两次硬币"的样本空间

样本空间：Ω = {(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}，共 4 个样本点。
注意：(正,反) 与 (反,正) 是两个不同的样本点！顺序不同意味着结果不同。

② "掷一颗骰子"的样本空间

③ 三种事件的对比

包含关系：∅ ⊆ A ⊆ Ω。三类事件分别对应：不可能事件 = ∅、随机事件 = 真子集、必然事件 = Ω。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

写出下列随机试验的样本空间：
（1）掷一颗骰子；
（2）抛一枚均匀硬币两次；
（3）从装有 3 个球（编号 1, 2, 3）的袋子中一次摸出 2 个球。

💡 提示：注意"有顺序"还是"无顺序"。

答案与详解

（1）掷一颗骰子

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，共 6 个样本点。

（2）抛一枚硬币两次

有顺序：第一次、第二次。 Ω = {(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}，共 4 个样本点。
要点：(正,反) 与 (反,正) 是两个不同的样本点。

（3）从 3 个球中摸出 2 个

一次摸出，无顺序。 Ω = {{1,2}, {1,3}, {2,3}}，共 3 个样本点。
也可记作 Ω = {12, 13, 23}。

（1）Ω = {1,2,3,4,5,6}；（2）Ω = {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}；（3）Ω = {{1,2},{1,3},{2,3}}。

例 2

连续掷两颗骰子（将第一颗和第二颗的结果视为有序对 (x, y)）。
（1）写出样本空间 Ω；
（2）写出事件 A = "两颗骰子点数之和为 7"；
（3）写出事件 B = "两颗骰子点数相同"；
（4）写出事件 C = "两颗骰子点数之和大于 9"。

💡 提示：样本空间共有 6 × 6 = 36 个样本点。

答案与详解

（1）样本空间

Ω = {(x, y) | x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}，共 36 个样本点。

（2）事件 A：点数之和为 7

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}，共 6 个样本点。

（3）事件 B：两颗点数相同

B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，共 6 个样本点。

（4）事件 C：点数之和大于 9

和等于 10：{(4,6), (5,5), (6,4)}，共 3 个；
和等于 11：{(5,6), (6,5)}，共 2 个；
和等于 12：{(6,6)}，共 1 个。
C = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}，共 6 个样本点。

（1）36 个样本点；（2）6 个样本点；（3）6 个样本点；（4）6 个样本点。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 样本空间遗漏样本点

写出"抛两枚硬币"的样本空间。

错误做法：Ω = {两正, 两反, 一正一反}，共 3 个样本点。
（把 (正,反) 与 (反,正) 当作同一个样本点）

正确做法：
Ω = {(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}，共 4 个样本点。
因为抛硬币是有顺序的两次试验，第一次结果和第二次结果不同，所以 (正,反) ≠ (反,正)。

📌 要点：样本空间的样本点必须"等可能"，不能把概率不同的结果合并。

易错点 2 · 混淆"有顺序"与"无顺序"

从装有 3 个球（1, 2, 3）的袋子中一次取出 2 个球，写出样本空间。

错误做法：
Ω = {(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)}，共 6 个样本点。
（把一次取 2 个当成两次有顺序的取球）

正确做法：
"一次取出"无顺序，{1, 2} 与 {2, 1} 是同一结果。
Ω = {{1,2}, {1,3}, {2,3}}，共 3 个样本点。

📌 要点：样本点的个数和表示方式，取决于"是否区分顺序"。题目里有无顺序要看清。

易错点 3 · 忽略样本点的"等可能性"

掷两颗骰子，求"点数之和为 2 或 12"的可能性大不大？"点数之和为 5 或 9"呢？

错误做法：认为样本空间只有 11 个样本点（和从 2 到 12），所以每个和出现的概率都是 1/11。

正确做法：
样本空间应有 36 个样本点（有序对）。
· 和为 2 的样本点：{(1,1)}，1 种；
· 和为 12 的样本点：{(6,6)}，1 种；
· 和为 5 的样本点：{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，4 种；
· 和为 9 的样本点：{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}，4 种。
所以 "和为 5 或 9" 的概率（8/36）远大于 "和为 2 或 12" 的概率（2/36）。

📌 要点：古典概型要求样本点"等可能"，把不等可能的结果混为一谈会出错。

2事件的关系与运算

教材概念

教材原文

事件的包含：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A）。此时 A 中的每一个样本点都属于 B。

事件的相等：若 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则称事件 A 与 B 相等，记作 A = B。

事件的并（和）：事件 A、B 中至少有一个发生，构成的事件称为 A 与 B 的并，记作 A ∪ B。

事件的交（积）：事件 A、B 同时发生，构成的事件称为 A 与 B 的交，记作 A ∩ B（或 AB）。

互斥事件：若 A ∩ B = ∅，即事件 A、B 不能同时发生，则称 A 与 B 是互斥事件（互不相容）。

对立事件：若 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Ω，则称 A 与 B 是对立事件。A 的对立事件记作 Ā。

概念解读

互斥与对立的本质区别

① 用"文氏图"来理解——

互斥：两个事件对应的区域不重叠（A ∩ B = ∅），但它们的"和"不一定覆盖整个样本空间；
对立：两个事件互斥，且"合起来"正好覆盖整个样本空间（A ∪ B = Ω）。

② 逻辑关系：

对立事件 ⟹ 一定是互斥事件；
互斥事件 ⟹ 不一定是对立事件。

③ 概率公式（重点）：

概率加法公式（一般情形）：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)；
互斥事件：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)（因为 P(A ∩ B) = 0）；
对立事件：P(Ā) = 1 − P(A)，即 P(A) + P(Ā) = 1。

👉 记忆口诀：互斥"不能同时"，对立"必有一个"；对立一定互斥，互斥不一定对立。

① 包含与相等

② 并、交、互斥、对立

对比要点：
· 互斥：A、B 没有公共样本点（不重叠）；
· 对立：A、B 不重叠，且"合起来"等于整个样本空间；
· 对立是"特殊的互斥"。

③ 概率加法公式与对立公式

公式	使用条件
`P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)`	一般情形
`P(A∪B) = P(A) + P(B)`	A、B 互斥
`P(Ā) = 1 − P(A)`	A、Ā 对立

典型习题（先做，再看答案）

例 1

掷一颗骰子，事件 A = "点数为偶数"，B = "点数为 3 的倍数"，C = "点数为 6"。
（1）判断 A、B、C 之间的包含关系；
（2）求 P(A)、P(B)、P(A∩B)、P(A∪B)。

💡 提示：先写出各事件的样本点集合。

答案与详解

第一步：写出事件对应的集合

A = {2, 4, 6}；
B = {3, 6}；
C = {6}。

（1）包含关系

· C = {6} ⊆ A = {2,4,6}，因为 6 ∈ A；
· C = {6} ⊆ B = {3,6}，因为 6 ∈ B；
· A 与 B 互不包含（2 ∈ A 但 2 ∉ B；3 ∈ B 但 3 ∉ A）。

（2）计算概率

P(A) = 3/6 = 1/2；
P(B) = 2/6 = 1/3；
A ∩ B = {6}，P(A∩B) = 1/6；
由加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3。

验证 P(A∪B)

A ∪ B = {2, 3, 4, 6}，共 4 个样本点，P(A∪B) = 4/6 = 2/3 ✓

（1）C ⊆ A，C ⊆ B；（2）P(A) = 1/2，P(B) = 1/3，P(A∩B) = 1/6，P(A∪B) = 2/3。

例 2

掷一颗骰子，事件 A = "点数为 1 或 2"，事件 B = "点数不小于 5"。
（1）判断 A、B 是否为互斥事件；
（2）判断 A、B 是否为对立事件；
（3）求 P(A∪B)。

💡 提示：先验证 A ∩ B 和 A ∪ B。

答案与详解

第一步：写出事件对应的集合

A = {1, 2}；
B = {5, 6}。

（1）判断互斥

A ∩ B = ∅，所以 A 与 B 是互斥事件。

（2）判断对立

A ∪ B = {1, 2, 5, 6} ≠ Ω = {1,2,3,4,5,6}。
所以 A 与 B 不是对立事件（虽然互斥）。

（3）求 P(A∪B)

因为 A、B 互斥，所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6 = 2/3。

（1）是互斥事件；（2）不是对立事件；（3）P(A∪B) = 2/3。

例 3

从装有 5 个红球、3 个白球、2 个黑球的袋子中任取 1 个球。
设 A = "取出红球"，B = "取出白球"，C = "取出黑球"。
（1）A、B、C 是否两两互斥？
（2）求 P(A∪B)；（3）求 P(A∪B∪C)。

💡 提示：取出 1 个球，三个事件不可能同时发生。

答案与详解

（1）是否两两互斥

取出 1 个球，只能是红、白、黑三种颜色之一，不能同时是两种颜色。
所以 A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = ∅，A、B、C 两两互斥。

（2）求 P(A∪B)

总数 n = 5 + 3 + 2 = 10。
P(A) = 5/10 = 1/2，P(B) = 3/10。
A、B 互斥，所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 3/10 = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5。

（3）求 P(A∪B∪C)

A ∪ B ∪ C 表示"取出红球或白球或黑球"，也就是"取出任意一个球"，即 Ω。
所以 P(A∪B∪C) = 1。
也可用三个互斥事件相加：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 5/10 + 3/10 + 2/10 = 10/10 = 1 ✓

（1）两两互斥；（2）P(A∪B) = 4/5；（3）P(A∪B∪C) = 1。

例 4

掷两颗骰子，事件 A = "点数之和为 5"，B = "点数之和为 7"。
（1）判断 A、B 是否互斥；
（2）求 P(A∪B)。

💡 提示：同一次试验中，和不可能同时等于 5 和 7。

答案与详解

（1）是否互斥

同一次掷两颗骰子，点数之和只能有一个值，不可能同时等于 5 和 7。
所以 A ∩ B = ∅，A、B 互斥。

（2）求 P(A∪B)

· 事件 A（和为 5）：{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}，共 4 个样本点，P(A) = 4/36 = 1/9；
· 事件 B（和为 7）：{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}，共 6 个样本点，P(B) = 6/36 = 1/6。
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 4/36 + 6/36 = 10/36 = 5/18。

（1）互斥；（2）P(A∪B) = 5/18。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 互斥与对立混淆

掷一颗骰子，事件 A = "点数为 1 或 2"，事件 B = "点数为 3 或 4"。判断 A 与 B 的关系。

错误做法：认为"两个事件没有交集，所以是对立事件"。

正确做法：
· A ∩ B = ∅，所以 A、B 是互斥事件；
· A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ≠ Ω = {1,2,3,4,5,6}，所以不是对立事件。
对立事件要求 A ∪ B = Ω，这里 5、6 都不在 A ∪ B 内。

📌 口诀：互斥不一定对立，对立一定互斥。

易错点 2 · P(A∪B) = P(A) + P(B) 使用条件错误

掷一颗骰子，A = "点数为偶数"，B = "点数大于 4"。求 P(A∪B)。

错误做法：
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 3/6 + 2/6 = 5/6。
（直接套用互斥事件的加法公式，但 A、B 并不互斥）

正确做法：
A = {2, 4, 6}，B = {5, 6}，A ∩ B = {6} ≠ ∅，A、B 不互斥。
用一般加法公式：
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3。
验证：A ∪ B = {2, 4, 5, 6}，共 4 个样本点，P = 4/6 = 2/3 ✓

📌 口诀：用 P(A∪B) = P(A) + P(B) 之前，必须验证 A、B 是否互斥。

易错点 3 · 对立事件概率公式用错

从 1 到 10 中任取一个整数，A = "取到质数"。求 P(Ā)。

错误做法：
质数有 2, 3, 5, 7，共 4 个，所以 P(A) = 4/10 = 2/5。
然后错误地写成 P(Ā) = 1/2 × P(A) 或者 P(Ā) = P(A)。

正确做法：
P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 2/5 = 3/5。
验证：非质数有 1, 4, 6, 8, 9, 10，共 6 个，P(Ā) = 6/10 = 3/5 ✓

📌 要点：P(A) + P(Ā) = 1，即 P(Ā) = 1 − P(A)。

3古典概型

教材概念

教材原文

若一个随机试验满足以下两个条件：

① 有限性：样本空间 Ω 只包含有限个样本点；

② 等可能性：每个样本点出现的可能性相同，

则称这样的随机试验为古典概型。

若事件 A 包含的样本点个数为 m，样本空间 Ω 中样本点的总数为 n，则事件 A 的概率为：

P(A) = m / n

概率的基本性质：

· 对任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1；

· P(Ω) = 1，P(∅) = 0。

概念解读

古典概型的"数数"哲学

① 核心公式 P(A) = m/n——难点不在公式，而在怎么数 m 和 n。数数时要注意：

n 和 m 的计数方式必须一致（要么都有序，要么都无序）；
n 和 m 的计数必须不重不漏；
所有的样本点必须等可能。

② 常见的计数方法：

列举法：直接列出所有样本点（适合样本点少的情况）；
树状图法：分步展开；
排列组合公式：
排列数 A(n, k) = n(n−1)…(n−k+1)；
组合数 C(n, k) = A(n, k) / k! = n! / (k!(n−k)!)。

③ 解题步骤：

明确试验是什么，样本空间 Ω 是什么；
验证样本点有限且等可能；
数出 n（总样本点数）；
数出 m（事件 A 的样本点数）；
用公式 P(A) = m/n 求解。

👉 关键提醒：能用列举法的优先用列举法（不易错）；样本点多时用排列组合公式，但要注意区分"有顺序"和"无顺序"。

① 古典概型的"两个条件"

要点：两个条件缺一不可。特别是"等可能性"，很多"看起来均匀"的试验其实并不均匀。

② 公式 P(A) = m/n 的结构

计算 m 和 n 的关键：
· 分子 m 是"符合条件"的情况数；
· 分母 n 是"所有可能"的情况数；
· 两者必须用同一种计数方式（都有序或都无序）。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数不超过 4；
（3）点数为 3 或 5。

💡 提示：列出每个事件对应的样本点，直接套公式。

答案与详解

样本空间

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，n = 6。

（1）点数为偶数

A = {2, 4, 6}，m = 3。
P(A) = 3/6 = 1/2。

（2）点数不超过 4

B = {1, 2, 3, 4}，m = 4。
P(B) = 4/6 = 2/3。

（3）点数为 3 或 5

C = {3, 5}，m = 2。
P(C) = 2/6 = 1/3。

（1）1/2；（2）2/3；（3）1/3。

例 2

掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为 7；
（2）点数之和大于 9；
（3）两颗点数相同。

💡 提示：样本空间共 6×6 = 36 个样本点（有序对）。

答案与详解

样本空间

Ω = {(x, y) | x, y ∈ {1, 2, …, 6}}，n = 36。

（1）点数之和为 7

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}，m = 6。
P(A) = 6/36 = 1/6。

（2）点数之和大于 9

和为 10：{(4,6), (5,5), (6,4)}，3 个；
和为 11：{(5,6), (6,5)}，2 个；
和为 12：{(6,6)}，1 个。
合计 m = 6。
P = 6/36 = 1/6。

（3）两颗点数相同

B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，m = 6。
P(B) = 6/36 = 1/6。

（1）1/6；（2）1/6；（3）1/6。

例 3

从 5 件正品、2 件次品共 7 件产品中，任意取出 2 件。求：
（1）恰好取到 1 件次品的概率；
（2）至少取到 1 件次品的概率。

💡 提示：第（2）问可用补集法（先求 "0 件次品"）。

答案与详解

样本点总数

从 7 件产品中取出 2 件，无顺序，共 C(7, 2) = 21 个样本点。

（1）恰好 1 件次品

从 2 件次品中取 1 件：C(2, 1) = 2；
从 5 件正品中取 1 件：C(5, 1) = 5。
恰好 1 件次品的情况：2 × 5 = 10 种。
P = 10/21。

（2）至少 1 件次品

方法一：补集法
"至少 1 件次品"的对立事件是"0 件次品"（即 2 件都是正品）。
2 件都是正品：C(5, 2) = 10 种。
P(0 件次品) = 10/21。
所以 P(至少 1 件次品) = 1 − 10/21 = 11/21。

方法二：直接分类
"恰好 1 件次品" = 10 种；
"恰好 2 件次品" = C(2, 2) = 1 种。
合计 10 + 1 = 11 种，P = 11/21。
两种方法一致 ✓

（1）P = 10/21；（2）P = 11/21。

例 4

把一枚均匀的硬币连续抛 3 次，求：
（1）恰好 2 次正面的概率；
（2）至少 2 次正面的概率。

💡 提示：样本空间共有 2³ = 8 个样本点。

答案与详解

样本空间

抛 3 次硬币，每次 2 种结果，共 n = 2³ = 8 个样本点。
Ω = {(正正正), (正正反), (正反正), (正反反), (反正正), (反正反), (反反正), (反反反)}。

（1）恰好 2 次正面

从 3 次中选 2 次是正面：C(3, 2) = 3 种。
即 {(正正反), (正反正), (反正正)}。
P = 3/8。

（2）至少 2 次正面

"恰好 2 次正面"：3 种；
"恰好 3 次正面"：1 种，即 (正正正)。
合计 m = 3 + 1 = 4。
P = 4/8 = 1/2。

（1）3/8；（2）1/2。

例 5

从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 9 个数字中，任意取出 2 个（不重复），求：
（1）两个数字之和为偶数的概率；
（2）两个数字之积为偶数的概率。

💡 提示：分类讨论，注意奇偶性。

答案与详解

样本点总数

从 9 个数中取 2 个（无顺序），共 C(9, 2) = 36 个样本点。

（1）两个数字之和为偶数

偶数 + 偶数 = 偶数；奇数 + 奇数 = 偶数。
9 个数中，奇数有 5 个（1, 3, 5, 7, 9），偶数有 4 个（2, 4, 6, 8）。
· 两个都是奇数：C(5, 2) = 10 种；
· 两个都是偶数：C(4, 2) = 6 种。
合计 m = 10 + 6 = 16 种。
P = 16/36 = 4/9。

（2）两个数字之积为偶数

积为偶数 ⟺ 至少有一个是偶数。
用补集法："积为奇数" 的对立事件是 "积为偶数"。
积为奇数 ⟺ 两个都是奇数：C(5, 2) = 10 种。
P(积为奇数) = 10/36 = 5/18。
P(积为偶数) = 1 − 5/18 = 13/18。

（1）4/9；（2）13/18。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 分子分母计数方式不统一

从 3 个男生、2 个女生中任选 2 人，求"恰好 1 男 1 女"的概率。

错误做法：
分母用"无序"：C(5, 2) = 10；
分子用"有序"：3 × 2 = 6？
（分子 3×2 是按"先选男、后选女"的有序方式计数，但分母是无序的，两者不一致）

正确做法：
· 分母：C(5, 2) = 10（无序）；
· 分子：先选 1 个男生 C(3, 1)，再选 1 个女生 C(2, 1)，共 3 × 2 = 6。
（注意：这里 3 × 2 是"组合"思路，因为一个男生 + 一个女生是不同"类别"的选择，不存在顺序问题。）
所以 P = 6/10 = 3/5。

📌 要点：分子分母的计数方式必须一致——都用有序或都用无序。当分子的每一项来自不同"类别"时，组合乘法的计数本身就已经是无序的。

易错点 2 · 忽略"等可能性"条件

从 2 个红球、2 个白球中任取 2 个球（球大小质地相同），求"恰好 1 红 1 白"的概率。

错误做法：
认为只有三种颜色搭配：2 红、2 白、1 红 1 白，所以 P = 1/3。

正确做法：
把 4 个球看作 4 个不同的球（红₁, 红₂, 白₁, 白₂）。
分母：C(4, 2) = 6；
分子：C(2, 1) × C(2, 1) = 2 × 2 = 4；
P(恰好 1 红 1 白) = 4/6 = 2/3。

📌 要点：不能把颜色搭配当作样本点（不等可能），必须按"每个球等可能"来计数。

易错点 3 · 用"分组"时重复计数

把 4 名学生平均分成两组（每组 2 人），求分组方法数。

错误做法：
从 4 人中选 2 人组成第一组，剩下 2 人组成第二组，共 C(4, 2) = 6 种方法。

正确做法：
平均分成两组（每组人数相同，组与组之间没有区别），需要除以组数的阶乘：
C(4, 2) × C(2, 2) / 2! = 6 / 2 = 3 种。
验证：4 人（a, b, c, d）分成两组：
{ab|cd}, {ac|bd}, {ad|bc}，共 3 种。
（如果把 {ab|cd} 和 {cd|ab} 算作不同，那就是 6 种，但实际上它们是同一种分组。）

📌 要点：平均分组时，组与组之间无区别，需要除以组数的阶乘（避免重复计数）。

4频率与概率

教材概念

教材原文

在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生了 m 次，则称比值 m/n 为事件 A 在这 n 次试验中发生的频率，记作 f_n(A) = m/n。

频率具有以下特点：

· 频率的取值范围是 [0, 1]；

· 频率具有随机性——即使在相同条件下重复试验，每次得到的频率可能不同；

· 随着试验次数 n 的增大，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率 P(A)。

频率的稳定性是概率的"实践基础"：当无法直接计算概率时，可以用大量试验的频率来估计概率。

概念解读

频率与概率的区别与联系

对比项	频率 f_n(A)	概率 P(A)
性质	随机变量，随试验变化	确定值，客观存在
取值范围	[0, 1]	[0, 1]
获得方式	通过试验统计	通过推理（古典概型）或估计
与 n 的关系	随 n 增大趋近 P(A)	不依赖 n

① "频率稳定于概率"是什么含义——不是说"频率一定等于概率"，而是"随着 n 越来越大，频率在概率附近小幅波动"。这是一个"极限思想"。

② 用频率估计概率的前提——

试验必须可重复且条件相同；
试验次数要足够多（通常至少几十次以上）；
不同次试验独立进行。

③ 经典案例——历史上多位数学家做过"掷硬币"试验：

布丰：掷币 4040 次，正面 2048 次，频率 ≈ 0.5069；
皮尔逊：掷币 12000 次，正面 6019 次，频率 ≈ 0.5016；
皮尔逊：掷币 24000 次，正面 12012 次，频率 ≈ 0.5005。

随试验次数增加，频率越来越接近 0.5。

👉 要点：频率是"实验数据"，概率是"理论常数"。用频率估计概率，是"从数据到真理"的桥梁。

① 频率随试验次数的稳定过程

观察要点：
· 试验次数少时（n < 50），频率波动大；
· 试验次数增大时，频率逐渐趋于稳定值（此处稳定于 0.5）；
· 这就是"频率的稳定性"。

② 历史上著名的"抛硬币"试验数据

试验者	抛掷次数 n	正面次数 m	频率 m/n
布丰	4040	2048	0.5069
皮尔逊	12000	6019	0.5016
皮尔逊	24000	12012	0.5005

观察：随着 n 从 4040 增大到 24000，频率从 0.5069 → 0.5016 → 0.5005，越来越接近理论值 0.5。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

对某批种子进行发芽试验，结果如下：

试验种子数 n	100	500	1000	2000
发芽种子数 m	92	470	950	1905

求这批种子的发芽率估计值。

💡 提示：分别计算各次试验的频率，看稳定值。

答案与详解

计算各次频率

· n = 100：m/n = 92/100 = 0.92；
· n = 500：m/n = 470/500 = 0.94；
· n = 1000：m/n = 950/1000 = 0.95；
· n = 2000：m/n = 1905/2000 = 0.9525。

观察稳定性

随着 n 增大，频率趋于 0.95 左右。

用频率估计：这批种子的发芽率约为 0.95（95%）。

例 2

某射手在同一条件下进行射击试验：

射击次数 n	10	50	100	200	500	1000
命中次数 m	8	42	89	181	451	902

求该射手命中目标的概率估计值。

💡 提示：计算各次频率，观察稳定值。

答案与详解

计算各次频率

· n = 10：8/10 = 0.8；
· n = 50：42/50 = 0.84；
· n = 100：89/100 = 0.89；
· n = 200：181/200 = 0.905；
· n = 500：451/500 = 0.902；
· n = 1000：902/1000 = 0.902。

观察稳定性

当 n ≥ 200 后，频率稳定在 0.90 附近。

用频率估计：该射手命中目标的概率约为 0.90。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 频率等同于概率

某人抛硬币 10 次，7 次正面，于是说"这枚硬币出正面的概率是 0.7"。这个说法对吗？

错误做法：认为频率就是概率，所以 P(正面) = 0.7。

正确做法：
频率 ≠ 概率。
· 频率 0.7 是"10 次试验中的实际表现"，具有随机性；
· 概率是一个"客观常数"，对均匀硬币来说 P(正面) = 0.5；
· 试验次数太少（n = 10），频率波动大，不能作为概率的估计。
当 n 增大到几千次时，频率才会稳定在 0.5 附近。

📌 口诀：频率是"数据"，概率是"本质"。n 越大，数据越接近本质。

易错点 2 · 用频率代替概率的适用条件

要估计某地区新生儿的性别比例，只统计了 20 个新生儿的性别。这种做法有什么问题？

错误做法：认为 20 个样本的频率就是概率估计。

正确做法：
样本量太小（n = 20），频率的随机波动很大。
用频率估计概率，要求：
· 试验条件相同；
· 试验次数足够多（一般至少几十次，具体视情况而定）；
· 试验独立重复。
性别比例估计应基于大样本（如几千个），才能得到较准确的估计。

易错点 3 · 混淆"频率之和为 1"与"概率之和为 1"

掷骰子 30 次，记录各点数出现的次数。各点数频率之和是否恰好为 1？

错误做法：认为频率的稳定性等同于"频率之和一定为 1"。

正确做法：
对一个完备事件组（如掷骰子的 6 个结果），频率之和一定等于 1。
因为若 6 个点数分别出现 m₁, m₂, …, m₆ 次，则 m₁ + m₂ + … + m₆ = n，所以：
(m₁ + m₂ + … + m₆) / n = 1。
但某一次实验中的频率（如"出现 1 点"的频率）本身不必等于 1/6。
· 概率之和为 1 是"理论必然"；
· 频率之和为 1 是"完备事件组的性质"。

📌 要点：完备事件组（互斥且并为全集）的概率之和恒为 1；同理，其频率之和也恒为 1。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

概率是上海高考数学的核心考点，每年必考，且分值较大。本章的古典概型是概率板块的基础，也是解答题第 17 题的常客。主要考查位置：

填空题 4—8 题（4—5分）：直接求古典概型的概率、事件关系判断
选择题 13—16 题（4—5分）：概率与排列组合结合
解答题 17 题（14分）：概率与统计综合，常与随机变量、分布列结合

近五年上海卷中，概率题目题型稳定。2026 年第 4 题、第 14 题分别考查事件运算和互斥独立；2025 年第 18 题考查条件概率与分布列。掌握本章基础，是稳拿概率解答题的关键。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 古典概型

上海卷 · 填空第 4—6 题（4分）

从 1, 2, 3, 4, 5 中任取 2 个数，则这 2 个数之和为偶数的概率为 ______。

答案与详解

样本空间

从 5 个数中取 2 个（无顺序），共 n = C(5, 2) = 10 个样本点。

和为偶数的情况

和为偶数 ⟺ 两个数同奇偶。
· 奇数：1, 3, 5（共 3 个），两个都奇数：C(3, 2) = 3 种；
· 偶数：2, 4（共 2 个），两个都偶数：C(2, 2) = 1 种。
合计 m = 3 + 1 = 4 种。

求概率

P = 4/10 = 2/5。

答案：2/5。

题型：填空 4 分｜考点：古典概型 + 组合计数｜难度：★★☆☆☆

真题 2 · 事件关系判断

上海卷 · 填空/选择（4—5分）

掷一颗骰子，事件 A = "点数为奇数"，B = "点数小于 4"，则事件 A ∩ B 包含的样本点有 ______ 个。

答案与详解

写出事件的集合

A = {1, 3, 5}；
B = {1, 2, 3}。

求交集

A ∩ B = {1, 3}，共 2 个样本点。

答案：2。

题型：填空 4 分｜考点：事件运算｜难度：★☆☆☆☆

真题 3 · 互斥事件概率

上海卷 · 填空第 6—8 题（5分）

袋中有 3 个红球、2 个白球，从中任取 2 个球，则"恰好 1 红 1 白"的概率为 ______。

答案与详解

样本空间

从 5 个球中取 2 个，n = C(5, 2) = 10。

恰好 1 红 1 白

从 3 个红球选 1 个：C(3, 1) = 3；
从 2 个白球选 1 个：C(2, 1) = 2。
合计 m = 3 × 2 = 6。

求概率

P = 6/10 = 3/5。

答案：3/5。

题型：填空 5 分｜考点：古典概型｜难度：★★☆☆☆

真题 4 · 对立事件与概率公式

上海卷 · 填空/选择（4—5分）

已知 P(A) = 0.6，P(B) = 0.5，P(A ∩ B) = 0.3，则 P(A ∪ B) = ______，P(Ā) = ______。

答案与详解

求 P(A ∪ B)

由加法公式：
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.5 − 0.3
= 0.8。

求 P(Ā)

P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0.6 = 0.4。

答案：P(A ∪ B) = 0.8，P(Ā) = 0.4。

题型：填空 5 分｜考点：概率加法公式 + 对立事件｜难度：★★☆☆☆

真题 5 · 综合应用（排列组合 + 古典概型）

上海卷 · 解答题第 17 题（14分）

用 0, 1, 2, 3, 4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数。
（1）求组成的三位数的总个数；
（2）求组成的三位数是偶数的概率。

答案与详解

（1）三位数的总个数

百位：不能为 0，从 {1, 2, 3, 4} 中选 1 个，共 4 种；
十位：从剩下 4 个数中选 1 个（含 0），共 4 种；
个位：从剩下 3 个数中选 1 个，共 3 种。
总数 n = 4 × 4 × 3 = 48。

（2）是偶数的三位数

分情况讨论：

情况一：个位为 0
百位：从 {1, 2, 3, 4} 中选 1 个，共 4 种；
十位：从剩下 3 个数中选 1 个，共 3 种。
共 4 × 3 = 12 个。

情况二：个位为 2 或 4
个位：2 种选择（2 或 4）；
百位：从剩余非 0 数字中选 1 个（不能为 0），共有 3 种（去掉个位数字后，剩下 3 个非 0 数）；
十位：从剩下的 3 个数中选 1 个（含 0），共 3 种。
共 2 × 3 × 3 = 18 个。

是偶数的总数 m = 12 + 18 = 30。

求概率

P = 30/48 = 5/8。

（1）48 个；（2）5/8。

题型：解答题 14 分｜考点：排列组合 + 古典概型｜难度：★★★☆☆

本章总结（复习清单）

随机现象：可能发生也可能不发生的现象；样本空间 Ω 是所有样本点的集合。
事件是样本空间的子集：基本事件（一个点）、必然事件（Ω）、不可能事件（∅）。
样本空间表示：列举法、树状图法、描述法。注意"有顺序"与"无顺序"。
事件的关系：包含（A ⊆ B）、相等（A = B）。
事件的运算：并（A ∪ B）、交（A ∩ B）。
互斥与对立：互斥 A ∩ B = ∅；对立 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Ω。对立一定是互斥，互斥不一定对立。
概率公式：P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)；互斥时 P(A∪B) = P(A)+P(B)；P(Ā) = 1 − P(A)。
古典概型：有限性 + 等可能性；P(A) = m/n。
计数原则：分子分母计数方式一致；不重不漏；样本点等可能。
频率与概率：频率是实验数据，具有随机性；概率是客观常数；n 越大，频率越接近概率。
本章最高频陷阱：互斥与对立混淆；P(A∪B) 直接相加未检验互斥；分子分母计数方式不统一；把不等可能的样本点混为一谈。