第10章空间直线与平面

1平面的基本性质（公理与推论）

教材概念

教材原文

公理 1（判定直线在平面内的依据）：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理 2（判定两平面相交的依据）：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理 3（确定平面的依据）：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理 4（平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

三个推论：

· 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

· 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

· 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

概念解读

平面"三公理四性质"的记忆逻辑

① 平面的"无限延展"——平面是无限延展的，这是平面区别于"平面图形"的本质。虽然画图时用平行四边形表示，但它实际上没有边界。

② 四条公理的用途分类：

公理 1：判定直线在平面内（用"两点"推"整条线"）——常用来证明直线在平面内；
公理 2：判定两平面相交（用"一个公共点"推"过该点的一条交线"）——常用来找两个平面的交线；
公理 3：确定一个平面（用"三点"推"一个平面"）——常用来证明"唯一性"；
公理 4：平行线的传递性——常用来证明两条直线平行。

③ 公理 3 的"三个条件"——"不在同一条直线上"这个条件绝不能丢：如果三点共线，则过这条直线可以作无数个平面。

👉 公理 2 是本章最容易忽视的——很多证明题的关键就是"找到两个平面的交线"。

① 公理 1：两点在平面内 → 直线在平面内

用途：证明"一条直线在平面内"的标准依据。只要找到直线上的两个点都在平面内，就可以断定整条直线在平面内。

② 公理 2：一个公共点 → 一条交线

用途：证明"多点共线"的标准依据。要证明三个点在一条直线上，只需证明它们都同时在两个相交平面上（因为两个平面的公共部分是一条直线）。

③ 公理 3 与三个推论：确定平面的条件

典型习题（先做，再看答案）

例 1

判断下列说法是否正确：
（1）三点确定一个平面；
（2）两条直线确定一个平面；
（3）一条直线和一个点确定一个平面。

💡 提示：紧扣"不共线"和"点不在直线上"这两个关键条件。

答案与详解

（1）错。必须是"不共线的三点"。

反例：三点共线时，过这条直线可以作无数个平面，所以"确定一个平面"不成立。

（2）错。必须是"相交或平行的两条直线"。

反例：两条异面直线不能确定一个平面（因为异面直线的定义就是"不同在任何一个平面内"）。

（3）错。必须是"点不在直线上"。

反例：点在直线上时，过这条直线可以作无数个平面。

答案：（1）错；（2）错；（3）错。三个说法都漏掉了关键限制条件。

例 2

已知四边形 ABCD 是空间四边形（四个顶点不共面），E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。求证：E、F、G、H 四点共面。

💡 提示：连接 BD，用三角形中位线定理，再用公理 4 和推论 3。

答案与详解

第一步：在 △ABD 中用中位线定理

在 △ABD 中，E 是 AB 的中点，H 是 AD 的中点。
由三角形中位线定理：EH ∥ BD。

第二步：在 △CBD 中用中位线定理

在 △CBD 中，F 是 CB 的中点，G 是 CD 的中点。
由三角形中位线定理：FG ∥ BD。

第三步：用公理 4（平行传递性）

EH ∥ BD 且 FG ∥ BD，由公理 4 得 EH ∥ FG。

第四步：用推论 3 得出共面

EH 与 FG 是两条平行直线。
由推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面。
所以 E、H、G、F 四点都在同一平面上，即 E、F、G、H 四点共面。

得证。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 漏掉"不共线"三个字

判断：三点确定一个平面。

错误做法：直接说"对，这就是公理 3"。

正确做法：
公理 3 完整表述是"不共线的三点确定一个平面"。
如果三点共线，则过这条直线可以作无数个平面，无法"确定唯一平面"。
所以这个说法错误，必须加上"不共线"。

易错点 2 · 公理 2 与"点在交线上"混淆

判断：如果两个平面有一个公共点，那么这个点一定在它们的交线上。

错误做法：认为这是"显然"的，说不出理由。

正确做法：
公理 2 的正确表述是：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
因此这个公共点确实在交线上（因为交线过这个点）。
但这个结论的正确性来自公理 2，而不是"显然"——要理解为什么：因为交线就是"两个平面的公共部分"，公共点当然属于它。

易错点 3 · 异面直线判断错误

判断：空间中"不相交的两条直线"一定异面。

错误做法：认为不相交 = 异面。

正确做法：
"不相交的两条直线"可能是平行直线（也在同一个平面内，只是不相交），也可能是异面直线。
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
· 平行直线虽然不相交，但它们共面；
· 异面直线不仅不相交，而且不共面。

📌 要点：异面直线 = 不相交 + 不共面。

2空间两条直线的位置关系

教材概念

教材原文

空间中两条直线的位置关系有三种：

· 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

· 平行直线：在同一平面内，没有公共点；

· 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

公理 4（平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线所成的角：过空间任意一点 O 分别作两条异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角（取值范围 (0°, 90°]）。

异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

概念解读

如何判断"平行、相交、异面"？

① 三种关系的分类标准：

是否共面：相交和平行都共面，异面不共面；
是否相交：相交有公共点，平行和异面都没有公共点。

用表格总结：

相交：共面 + 有一个公共点；
平行：共面 + 无公共点；
异面：不共面 + 无公共点。

② 公理 4 的应用——证明两条直线平行时，"找第三条直线"是常用技巧：如果能证明 a ∥ c 且 b ∥ c，则 a ∥ b。

③ 异面直线所成的角——求解步骤：

平移：选择空间中的一点 O（通常选其中一条直线上的某个特殊点）；
作平行线：过 O 分别作两条异面直线的平行线；
在三角形中求角：把两条平行线构成的角放到一个三角形中，用余弦定理或正弦定理求解。

👉 关键提醒：异面直线所成的角是"锐角或直角"，所以 cos 值必须取正值。

① 三种位置关系对比

判断口诀：
· 有公共点 ⟹ 相交（共面）；
· 无公共点 + 共面 ⟹ 平行；
· 无公共点 + 不共面 ⟹ 异面。

② 异面直线所成的角：平移到同一点

求解步骤：
① 选点 O（常选其中一条直线上的某点）；
② 平移另一条直线到 O 处，使两条直线相交；
③ 在交点处形成的锐角（或直角）就是所求的角；
④ 用余弦定理在三角形中求这个角的余弦值。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，判断下列两条直线的位置关系：
（1）AA₁ 与 CC₁；（2）AB 与 CC₁；（3）AB 与 A₁B₁。

💡 提示：判断是否共面、是否有公共点。

答案与详解

（1）AA₁ 与 CC₁：在正方体中，AA₁ ∥ CC₁（都是竖直棱，方向相同、长度相等）。平行直线。

（2）AB 与 CC₁：AB 在底面 ABCD 内，CC₁ 是竖直棱，与底面垂直。
AB 与 CC₁ 不相交（因为它们不在同一个平面内）。异面直线。

（3）AB 与 A₁B₁：AB ∥ A₁B₁（都是正方体上下底面的对应棱，方向相同、长度相等）。平行直线。

（1）平行；（2）异面；（3）平行。

例 2

在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求异面直线 A₁B 与 B₁C 所成角的大小。

💡 提示：利用 A₁B ∥ D₁C（因为 A₁BCD₁ 是平行四边形），把两条直线平移到同一个三角形中。

答案与详解

第一步：平移构造

在四边形 A₁BCD₁ 中，A₁D₁ ∥ BC 且 A₁D₁ = BC（都是棱长 a，且方向相同）。
由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等），四边形 A₁BCD₁ 是平行四边形。
所以 A₁B ∥ D₁C。

第二步：确定所求角

因为 A₁B ∥ D₁C，所以 A₁B 与 B₁C 所成的角 = D₁C 与 B₁C 所成的角 = ∠D₁CB₁。

第三步：在 △D₁CB₁ 中求解

设正方体棱长为 a，则：
· CD₁ = √2 a（面对角线）；
· CB₁ = √2 a（面对角线）；
· D₁B₁ = √2 a（面对角线）。
在 △D₁CB₁ 中，三边相等，所以是等边三角形，∠D₁CB₁ = 60°。

异面直线 A₁B 与 B₁C 所成角为 60°。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 异面直线所成角取"钝角"

在正方体中求两条异面直线所成的角，用余弦定理算出 cos θ = −1/2，求角度。

错误做法：答 θ = 120°。

正确做法：
异面直线所成的角取值范围是 (0°, 90°]，所以 cos θ 必须取正值。
当算出 cos θ = −1/2 时，说明平移后的夹角是 120°，而异面直线所成的角是它的补角：
θ = 180° − 120° = 60°。
（或者：cos θ = |−1/2| = 1/2，θ = 60°。）

📌 口诀：异面直线所成角 ≤ 90°，cos 值取绝对值。

易错点 2 · 混淆"异面直线的角"与"直线的夹角"

求两条异面直线所成的角，直接取它们方向向量的夹角。

错误做法：直接取两个方向向量的夹角作为答案，可能得到钝角。

正确做法：
两条异面直线所成的角 θ ∈ (0°, 90°]。
用向量方法时：cos θ = |cos⟨a, b⟩| = |a·b|/(|a||b|)。
即方向向量夹角的余弦值必须取绝对值，这样得到的就是异面直线所成的角。

易错点 3 · 平行直线与异面直线混淆

判断：在长方体中，若两条棱不相交，则它们异面。

错误做法：认为不相交就是异面。

正确做法：
不相交的两条棱可能是：
· 平行（如上下底面的对应棱，方向相同、共面）；
· 异面（如底面上一条棱和上面一条不与之平行的棱）。
必须进一步判断"是否共面"。

3直线与平面的位置关系

教材概念

教材原文

直线与平面的位置关系有三种：

· 直线在平面内：有无数个公共点；

· 直线与平面相交：有且只有一个公共点（此时直线与平面斜交或垂直）；

· 直线与平面平行：没有公共点。

线面平行：

· 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

· 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

线面垂直：

· 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

· 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

概念解读

平行与垂直判定、性质定理的"两个方向"

① 判定与性质的区别：

判定定理：从"已知条件"出发，判断出"平行或垂直"——即"怎样证明"；
性质定理：已知"平行或垂直"，推出进一步的结论——即"已知平行/垂直能得到什么"。

② 线面平行判定定理的"三句话"：

平面外一条直线；
平面内一条直线；
这两条直线平行。

结论：平面外那条直线与平面平行。三项缺一不可，特别是"平面外"和"平面内"这两条常被忽略。

③ 线面垂直判定定理的"关键词"——"两条相交直线"：

如果只是"两条平行直线"与已知直线垂直，不能推出线面垂直；
"相交"是必须的，因为两条平行直线只确定一条方向。

👉 记忆技巧：判定定理"由小到大"（线线关系 → 线面关系）；性质定理"由大到小"（线面关系 → 线线关系）。

① 线面平行的判定定理

三个条件：① a 在平面外；② b 在平面内；③ a ∥ b。
结论：a ∥ α（直线 a 平行于平面 α）。

② 线面平行的性质定理

思路：如果一条直线平行于平面 α，那么经过这条直线的任何一个平面 β 与平面 α 的交线 l 都与它平行。

③ 线面垂直的判定定理

关键：b 和 c 必须"相交"于 O 点。只有两条相交直线才能确定平面 α 的"方向"，才能推出 a 垂直于平面 α 内所有直线。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：BD ∥ 平面 B₁D₁C。

💡 提示：找一条平面 B₁D₁C 内与 BD 平行的直线。

答案与详解

第一步：找平面 B₁D₁C 内的平行直线

在正方体中，BB₁ ∥ DD₁ 且 BB₁ = DD₁，所以 BDD₁B₁ 是平行四边形，得 BD ∥ B₁D₁。

第二步：验证三个条件

· BD ⊄ 平面 B₁D₁C（BD 在底面，不在平面 B₁D₁C 内）；
· B₁D₁ ⊂ 平面 B₁D₁C；
· BD ∥ B₁D₁。

第三步：用判定定理

由线面平行的判定定理，BD ∥ 平面 B₁D₁C。

得证。

例 2

在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：AC ⊥ 平面 BB₁D₁D。

💡 提示：证明 AC 垂直于平面 BB₁D₁D 内的两条相交直线。

答案与详解

第一步：证明 AC ⊥ BD

ABCD 是正方形，对角线互相垂直，所以 AC ⊥ BD。

第二步：证明 AC ⊥ BB₁

因为 BB₁ ⊥ 底面 ABCD，而 AC ⊂ 底面 ABCD，所以 BB₁ ⊥ AC。

第三步：用判定定理

平面 BB₁D₁D 内，BD 与 BB₁ 相交于点 B，且 AC ⊥ BD，AC ⊥ BB₁。
由线面垂直的判定定理，AC ⊥ 平面 BB₁D₁D。

得证。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 线面垂直判定漏掉"相交"

判断：一条直线与平面内两条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

错误做法：认为"两条直线"就够了。

正确做法：
正确的表述应该是："一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。"
反例：如果那两条直线平行，比如 l ⊥ a 且 l ⊥ b，但 a ∥ b，此时 l 可能不垂直于这个平面（l 可以"斜着"垂直于 a、b 所在的方向）。

📌 口诀：线面垂直判定，两条相交是关键。

易错点 2 · 线面平行的判定漏掉"平面外"

判断：一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。

错误做法：认为"平行"就够了。

正确做法：
正确的表述应该是："平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。"
反例：如果直线 a 在平面 α 内，且 a ∥ b（b 也在平面 α 内），那么 a 并不平行于平面 α（因为 a 在平面内）。

📌 口诀：线面平行判定，三个条件缺一不可（线在面外、线在面内、两线平行）。

易错点 3 · "垂直于平面内无数条直线"≠"垂直于平面"

判断：若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直。

错误做法：认为无数条就够了。

正确做法：
"无数条"不等于"任意一条"。
反例：如果平面内这"无数条直线"都是平行的（比如所有的水平线），那么一条斜线可以垂直于它们，但它并不垂直于平面。
线面垂直的定义是：直线与平面内任意一条直线都垂直。
而判定定理是：与平面内两条相交直线都垂直。

📌 要点：定义用"任意"，判定用"两条相交"，两者逻辑不同。

4平面与平面的位置关系

教材概念

教材原文

平面与平面的位置关系有两种：

· 平行：没有公共点；

· 相交：有一条公共直线（此时除公共直线外没有其他公共点）。

面面平行：

· 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

· 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。

面面垂直：

· 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

· 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

概念解读

"面面关系"与"线面关系"的转化

① 面面关系的四种定理都是"线面 → 面面"或"面面 → 线面"的转化：

面面平行判定：线面平行（两条相交直线都平行于另一平面）⟹ 面面平行；
面面平行性质：面面平行 ⟹ 线线平行（两交线）；
面面垂直判定：线面垂直（一个平面过另一个平面的垂线）⟹ 面面垂直；
面面垂直性质：面面垂直 ⟹ 线面垂直（平面内垂直于交线的直线）。

② 面面平行判定"两条相交直线"的必要性——如果只有一条直线平行于另一平面，不足以推出面面平行（两个平面可能相交）。必须有两条相交直线同时平行于另一平面。

③ 面面垂直性质定理的关键词"垂直于交线"——如果平面 α ⊥ 平面 β，交线为 l，那么在平面 α 内取一条垂直于 l 的直线 a，就有 a ⊥ 平面 β。

👉 解题思路：证明面面关系，通常先转化到线面关系；证明线面关系，又转化到线线关系。这就是"立体几何证明的降维思路"。

① 面面平行的判定定理

关键：a 和 b 必须"相交"。如果只是"两条平行直线"都平行于 β，不能推出 α ∥ β。

② 面面平行的性质定理

用途：证明两条直线平行的又一工具。
如果两条直线分别位于两个平行平面内，且它们由同一个平面截得，则它们平行。

③ 面面垂直的判定与性质

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 AB₁D₁ ∥ 平面 C₁BD。

💡 提示：在平面 AB₁D₁ 内找两条相交直线，分别平行于平面 C₁BD 内的直线。

答案与详解

第一步：证明 AB₁ ∥ DC₁

正方体的两个侧面 ABB₁A₁ 与 DCC₁D₁ 是全等的正方形。
沿向量 AD 平移正方形 ABB₁A₁，恰好与正方形 DCC₁D₁ 重合。
在平移下，线段 AB₁ 平移到线段 DC₁，所以 AB₁ ∥ DC₁（且 AB₁ = DC₁）。

第二步：证明 AD₁ ∥ BC₁

同理，正方体的两个侧面 ADD₁A₁ 与 BCC₁B₁ 是全等的正方形。
沿向量 AB 平移正方形 ADD₁A₁，恰好与正方形 BCC₁B₁ 重合。
在平移下，线段 AD₁ 平移到线段 BC₁，所以 AD₁ ∥ BC₁（且 AD₁ = BC₁）。

第三步：用线面平行判定

· AB₁ ⊄ 平面 C₁BD（AB₁ 上的点 A 不在平面 C₁BD 内）；
· DC₁ ⊂ 平面 C₁BD（D、C₁ 都是平面 C₁BD 上的点）；
· AB₁ ∥ DC₁。
由线面平行判定定理，AB₁ ∥ 平面 C₁BD。
同理，AD₁ ∥ 平面 C₁BD。

第四步：用面面平行判定

平面 AB₁D₁ 内，AB₁ 与 AD₁ 相交于点 A。
AB₁ ∥ 平面 C₁BD，AD₁ ∥ 平面 C₁BD。
由面面平行判定定理，平面 AB₁D₁ ∥ 平面 C₁BD。

得证。

例 2

在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 ACC₁A₁ ⊥ 平面 BDD₁B₁。

💡 提示：证明 AC ⊥ 平面 BDD₁B₁（已在 10.3 例2中做过），再用面面垂直判定定理。

答案与详解

第一步：证明 AC ⊥ 平面 BDD₁B₁

参照 10.3 例 2 的证明：
· ABCD 是正方形 ⟹ AC ⊥ BD；
· BB₁ ⊥ 底面 ABCD ⟹ BB₁ ⊥ AC；
· BD 与 BB₁ 相交于点 B；
· 由线面垂直判定定理，AC ⊥ 平面 BDD₁B₁。

第二步：用面面垂直判定定理

平面 ACC₁A₁ 包含直线 AC，而 AC ⊥ 平面 BDD₁B₁。
由面面垂直的判定定理，平面 ACC₁A₁ ⊥ 平面 BDD₁B₁。

得证。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 面面平行判定漏掉"相交"

判断：如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。

错误做法：认为"两条直线"就够了。

正确做法：
必须"两条相交直线"，"两条平行直线"不够。
反例：两个相交平面 α、β 的交线为 l。在 α 内取两条都平行于 l 的直线 a、b（a ∥ b），则 a、b 都平行于 β，但 α 与 β 相交，不平行。
关键原因：两条平行直线只"指示一个方向"，不能确定平面 α 的"全部方向"。

易错点 2 · 面面垂直性质定理忘记"垂直于交线"

判断：如果平面 α ⊥ 平面 β，那么平面 α 内的任意一条直线都垂直于平面 β。

错误做法：认为"面面垂直"就能推出"面内任意直线垂直另一面"。

正确做法：
只有"平面 α 内垂直于交线的直线"才垂直于平面 β。
反例：设 α 与 β 交于 l，在 α 内取一条与 l 平行的直线 a。因为 a ∥ l 且 l ⊂ β，所以 a ∥ β 或 a 在 β 内，a 并不垂直于 β。

📌 口诀：面面垂直得线面垂直，前提是"垂直于交线"。

易错点 3 · 混淆"线面平行"和"线在平面内"

判断：如果直线 a ∥ 平面 α，那么 a 与 α 内的所有直线都不相交。

错误做法：认为"平行"就意味着"a 与面内所有直线都平行"。

正确做法：
a ∥ 平面 α 表示 a 与 α 没有公共点，所以 a 与 α 内的直线只有两种关系：平行或异面——都不会相交。
所以"a 与 α 内的所有直线都不相交"这句话正确。
但要区分：不能说"a 与 α 内的所有直线都平行"——它们可能是异面的。

📌 要点：线面平行 ⟹ 与面内直线"平行或异面"（不相交）。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

立体几何是上海高考数学的必考板块，每年稳定出现在解答题中（14分）。本章的"空间直线与平面"是立体几何的理论基础，后续第14章"空间向量"也依赖于此。主要考查位置：

填空题 8—12 题（5分）：空间位置关系判断、命题真假判断
选择题 15—16 题（5分）：空间中点线面位置关系综合
解答题 17—19 题（14分）：线面平行/垂直的证明、角度计算

近五年上海卷中，线面平行、线面垂直的证明是解答题第1小问的常见考点。2026年第16题以正方体为背景考查空间位置关系；2025年第19题考查二面角与线面关系。掌握好本章的定理体系，是立体几何稳定拿分的关键。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 空间中点线面位置关系判断

上海卷 · 填空第 8—10 题（5分）

设 m, n 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若 m ⊥ n, n ⊂ α，则 m ⊥ α；
B. 若 m ∥ n, n ⊂ α，则 m ∥ α；
C. 若 m ⊥ α, n ⊂ α，则 m ⊥ n；
D. 若 m ∥ α, n ⊂ α，则 m ∥ n。

答案与详解

A. m ⊥ n, n ⊂ α，则 m ⊥ α：错。m 与平面内一条直线垂直，不能推出 m 垂直于平面（需要与平面内两条相交直线都垂直）。✗

B. m ∥ n, n ⊂ α，则 m ∥ α：错。m 可能在平面 α 内。要推出 m ∥ α，必须加上"m 在平面外"的条件。✗

C. m ⊥ α, n ⊂ α，则 m ⊥ n：对。由线面垂直的定义，m 垂直于平面 α 内的任意一条直线，所以 m ⊥ n。✓

D. m ∥ α, n ⊂ α，则 m ∥ n：错。m 与 n 可能是异面直线。✗

答案：C。

题型：填空/选择 5 分｜考点：空间中点线面位置关系｜难度：★★☆☆☆

真题 2 · 线面平行证明（高频解答题前问）

上海卷 · 解答题第 17—19 题（14分）

在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 是棱 CC₁ 的中点。求证：AC₁ ∥ 平面 BDE。

答案与详解

思路：在平面 BDE 内找一条与 AC₁ 平行的直线

连接 AC 交 BD 于 O，则 O 是 AC 的中点（因为 ABCD 是矩形，对角线互相平分）。

第一步：证明 OE ∥ AC₁

在 △ACC₁ 中：
· O 是 AC 的中点；
· E 是 CC₁ 的中点。
由三角形中位线定理，OE ∥ AC₁。

第二步：验证三条件

· AC₁ ⊄ 平面 BDE（AC₁ 的两个端点 A、C₁ 都不在平面 BDE 内）；
· OE ⊂ 平面 BDE（O 在 BD 上，E 在平面 BDE 内）；
· AC₁ ∥ OE。

第三步：用线面平行判定定理

AC₁ ∥ OE，OE ⊂ 平面 BDE，AC₁ ⊄ 平面 BDE，所以 AC₁ ∥ 平面 BDE。

得证。

题型：解答题 14 分（第1小问）｜考点：线面平行判定 + 中位线｜难度：★★★☆☆

真题 3 · 线面垂直证明

上海卷 · 解答题第 18—19 题（14分）

在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，D 是 BC 的中点。求证：AD ⊥ 平面 BB₁C₁C。

答案与详解

第一步：证明 AD ⊥ BC

因为 △ABC 是正三角形（底面），且 D 是 BC 的中点，所以 AD 是中线也是高。
所以 AD ⊥ BC。

第二步：证明 AD ⊥ BB₁

正三棱柱的侧棱 BB₁ ⊥ 底面 ABC，而 AD ⊂ 底面 ABC，
所以 BB₁ ⊥ AD（即 AD ⊥ BB₁）。

第三步：用判定定理

在平面 BB₁C₁C 内，BC 与 BB₁ 相交于点 B。
AD ⊥ BC，AD ⊥ BB₁，BC ∩ BB₁ = B。
由线面垂直的判定定理，AD ⊥ 平面 BB₁C₁C。

得证。

题型：解答题 14 分（第1小问）｜考点：线面垂直判定｜难度：★★★☆☆

真题 4 · 面面垂直证明

上海卷 · 解答题第 18—19 题（14分）

在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥ 底面 ABCD。求证：平面 PAC ⊥ 平面 PBD。

答案与详解

思路：用面面垂直判定——证一条平面内的直线垂直于另一平面

尝试证明 BD ⊥ 平面 PAC（或 AC ⊥ 平面 PBD）。

第一步：证明 BD ⊥ AC

ABCD 是正方形，对角线互相垂直，所以 BD ⊥ AC。

第二步：证明 BD ⊥ PA

因为 PA ⊥ 底面 ABCD，BD ⊂ 底面 ABCD，所以 PA ⊥ BD。

第三步：用线面垂直判定

平面 PAC 内，AC 与 PA 相交于点 A。
BD ⊥ AC，BD ⊥ PA，AC ∩ PA = A。
由线面垂直的判定定理，BD ⊥ 平面 PAC。

第四步：用面面垂直判定

BD ⊂ 平面 PBD，且 BD ⊥ 平面 PAC。
由面面垂直的判定定理，平面 PBD ⊥ 平面 PAC。

得证。

题型：解答题 14 分（第1小问）｜考点：面面垂直判定｜难度：★★★☆☆

本章总结（复习清单）

四个公理：公理 1（两点定线在面内）；公理 2（一个公共点定一条交线）；公理 3（不共线三点定一平面）；公理 4（平行线传递性）。
三个推论：直线+线外一点；两条相交直线；两条平行直线——都能确定唯一平面。
空间两直线位置关系：相交、平行、异面。异面 = 不共面 + 无公共点。
异面直线所成角：通过平移转化，取值范围 (0°, 90°]，cos 取绝对值。
直线与平面位置关系：在平面内、相交、平行。
线面平行判定：线在面外 + 线在面内 + 两线平行。
线面平行性质：a ∥ α，a ⊂ β，α ∩ β = l ⟹ a ∥ l。
线面垂直判定：与平面内两条相交直线都垂直。
线面垂直性质：垂直于同一平面的两条直线平行。
平面与平面位置关系：平行、相交。
面面平行判定：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面。
面面平行性质：α ∥ β，γ ∩ α = l₁，γ ∩ β = l₂ ⟹ l₁ ∥ l₂。
面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线。
面面垂直性质：α ⊥ β，α ∩ β = l，a ⊂ α，a ⊥ l ⟹ a ⊥ β。
本章最高频陷阱：判定定理漏掉"相交"或"平面外"；异面直线所成角取到钝角；面面垂直性质定理忘记"垂直于交线"。