为了使方程 x² = −1 有解，引入一个新数 i，叫做虚数单位，规定：
① i² = −1；
② i 与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
形如 z = a + bi（a, b ∈ R）的数叫做复数。a 叫做复数 z 的实部，b 叫做虚部（注意：虚部是 b 本身，不是 bi）。全体复数组成的集合叫复数集，记作 C。
复数的分类：
· 若 b = 0，则 z = a 是实数；
· 若 b ≠ 0，则 z 是虚数；
· 若 a = 0 且 b ≠ 0，则 z = bi 是纯虚数。
复数相等的条件：a + bi = c + di ⟺ a = c 且 b = d（a, b, c, d ∈ R）。
① 数系扩充的逻辑链——每一次数系的扩充，都是因为"原有数不够用了"：
② 虚部的"陷阱"——复数 z = 3 + 4i 的实部是 3，虚部是 4（不是 4i）。这是学生最容易出错的地方。记住：虚部是 i 前面的那个实数系数。
③ 复数不能比较大小——两个复数如果都是实数，可以比较大小；但只要有一个是虚数，就不能比较大小。例如不能说"3 + 2i > 1 + i"，因为没有定义复数的大小关系。
👉 记忆要点：实部看常数，虚部看系数。
（1）3 + 4i：实部 3，虚部 4。b = 4 ≠ 0，a = 3 ≠ 0，是虚数（非纯虚数）。
（2）−2i：写成 0 + (−2)i，实部 0，虚部 −2。b = −2 ≠ 0，a = 0，是纯虚数。
（3）5：写成 5 + 0i，实部 5，虚部 0。b = 0，是实数。
（4）0：写成 0 + 0i，实部 0，虚部 0。b = 0，是实数。
（5）−1 + √3 i：实部 −1，虚部 √3。b = √3 ≠ 0，a = −1 ≠ 0，是虚数（非纯虚数）。
复数 z = 3 − 2i 的虚部是多少？
📌 口诀：虚部是"裸数字"，不带 i。
判断：0 是纯虚数。
📌 要点：纯虚数不能是 0。
判断：因为 3 + 2i 的实部 3 大于 1 + i 的实部 1，所以 3 + 2i > 1 + i。
📌 要点：只有实数能比较大小；复数的"大小"用"模"来描述。
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x 轴叫做实轴，y 轴（除原点外）叫做虚轴。复数 z = a + bi（a, b ∈ R）与复平面内的点 Z(a, b) 一一对应，也与从原点出发的向量 OZ 一一对应。
复数的模：复数 z = a + bi 对应的向量 OZ 的模，叫做复数 z 的模（也叫绝对值），记作 |z| = √(a² + b²)。显然 |z| ≥ 0。
共轭复数：把复数 z = a + bi 的虚部变为相反数，得到 z̄ = a − bi，叫做 z 的共轭复数。
共轭复数的性质：
· z · z̄ = |z|² = a² + b²（必为实数）；
· z + z̄ = 2a（实部两倍）；z − z̄ = 2bi（纯虚数）；
· z 为实数 ⟺ z = z̄；z 为纯虚数 ⟺ z = −z̄ 且 z ≠ 0。
① 三种表示形式——同一个复数有三种"面孔"：
正因为复数和向量一一对应，复数的加减法就可以用"向量加减的几何意义"来理解。
② |z| 的几何意义——|z| = √(a² + b²) 就是点 Z 到原点的距离。这也解释了为什么 |z| ≥ 0，以及为什么 |z₁ − z₂| 表示"复数 z₁ 和 z₂ 对应两点之间的距离"。
③ 共轭复数——z 与 z̄ 的实部相同，虚部互为相反数。在复平面上，z 与 z̄ 的点关于 x 轴对称。
👉 重要公式：z · z̄ = |z|²，这是复数运算中最有用的恒等式之一。
已知 z = −3 + 4i，求 |z|。
📌 要点：模是实数，不可能是负的，也不可能带 i。
已知 z = 3 + 4i，比较 |z|² 与 z²。
📌 口诀：z · z̄ = |z|²，不是 z² = |z|²。
复数 z = 5i 在复平面内对应的点位于什么位置？
📌 要点：复平面坐标 (实部, 虚部)，不要搞反。
设 z₁ = a + bi，z₂ = c + di（a, b, c, d ∈ R）：
加法：z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i。
减法：z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i。
乘法：z₁ · z₂ = (ac − bd) + (ad + bc)i（按多项式展开，并注意 i² = −1）。
除法：z₁ ÷ z₂ = [(a + bi)(c − di)]/(c² + d²) = [(ac + bd) + (bc − ad)i]/(c² + d²)（分子分母同乘分母的共轭）。
常用结果：i¹ = i，i² = −1，i³ = −i，i⁴ = 1（周期 4）。
共轭的运算性质：z₁ ± z₂ 的共轭 = z̄₁ ± z̄₂；z₁·z₂ 的共轭 = z̄₁ · z̄₂；z₁/z₂ 的共轭 = z̄₁ / z̄₂。
① 加、减、乘——与多项式完全一样——复数的加、减、乘可以按照"字母 i 当未知数"的多项式运算来理解。唯一特殊的地方是：遇到 i² 时，直接换成 −1。
② 除法——关键是"分母实数化"——复数的除法分子分母不能直接除，需要把分母化为实数。做法：分子分母同乘分母的共轭复数。这就是"分母实数化"。
例：(1 + i)/(1 − i)。
③ i 的幂周期律——i 的幂按 i、−1、−i、1 循环，周期 4。计算 i^n 时，只需看 n 除以 4 的余数：
👉 运算要牢记：i² = −1 是整个复数运算中最重要的一条。
计算 (1 + i)²。
📌 要点：乘法展开时不要漏掉"交叉项"。
计算 1/i。
📌 口诀：除法必先"分母实数化"，同乘分母的共轭。
计算 i^100。
📌 要点：i 的幂看"指数除以 4 的余数"。
对于实系数一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0，a, b, c ∈ R），判别式 Δ = b² − 4ac：
· 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根：x = (−b ± √Δ)/(2a)；
· 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根：x₁ = x₂ = −b/(2a)；
· 当 Δ < 0 时，方程没有实数根，但在复数集中有两个共轭虚根：
x = (−b ± i√(−Δ))/(2a)。
韦达定理（根与系数的关系）在复数集中仍然成立：
x₁ + x₂ = −b/a，x₁ · x₂ = c/a。
① 两根共轭——当 Δ < 0 时，两个虚根恰好是共轭复数：x₁ = (−b + i√(−Δ))/(2a)，x₂ = (−b − i√(−Δ))/(2a) = x̄₁。这就是"虚根成对出现"。
② 韦达定理仍然成立——无论 Δ 的符号，韦达定理 x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a 都成立。这是解复数根问题的重要工具，可以避免直接算根。
验证：当 Δ < 0 时，
③ 实系数方程虚根成对——如果 a + bi（b ≠ 0）是实系数多项式方程的根，那么 a − bi 也是它的根。这个结论对高次多项式也成立，是复数的"共轭根定理"。
👉 解题思路：遇到 Δ < 0 的实系数一元二次方程，直接套公式 x = (−b ± i√(−Δ))/(2a)。
解方程：x² + 4 = 0。
📌 要点：在复数范围内，负数也可以开平方。
已知复数方程 x² + ix + 1 = 0，能否用韦达定理？
📌 要点：韦达定理对所有一元二次方程成立；虚根成对只对实系数成立。
解方程 x² − 2x + 5 = 0。
📌 要点：Δ < 0 时，√(−Δ) 是一个正实数，与虚部搭配时写成 i√(−Δ)。
复数是上海高考数学的高频小题考点，每年必考。通常以填空或选择形式出现，分值 4—5 分。主要考查位置：
近五年上海卷中，复数内容每年必考。2026年第15题以"复数新定义"形式出现，难度有所提升。这一章是"稳拿分"的关键板块。