既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用一条有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小（叫做向量的模），箭头方向表示向量的方向。
向量 a 的模记作 |a|。长度为 1 的向量叫单位向量；长度为 0 的向量叫零向量，记作 0，零向量的方向任意。
方向相同或相反的非零向量叫平行向量（也叫共线向量），记作 a ∥ b。长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
规定：零向量与任何向量平行；任意两个相等向量都是平行向量。
① 向量是"自由"的——向量的本质是"大小 + 方向"，与位置无关。只要大小相等、方向相同，无论平移到哪里，都是同一个向量（或相等向量）。所以向量可以在平面上自由平移。
② 零向量的特殊性——零向量大小为零，方向任意，这使得它有一些"特殊性质"：
③ 平行与共线的关系——在平面向量中，"平行"与"共线"是同一个概念。因为向量可以自由平移，平行向量平移到同一起点后，必然在同一条直线上。
👉 记忆口诀：向量平行即共线，方向相同或相反。零向量与谁都平行。
（1）温度：只有大小（度数），没有方向，是数量。
（2）重力：有大小（重力加速度）也有方向（竖直向下），是向量。
（3）位移：有大小（距离）也有方向（位移方向），是向量。
（4）身高：只有大小，是数量。
（5）速度：有大小（速率）也有方向，是向量。
下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A. 零向量的方向是 0°；
B. 零向量没有方向；
C. 零向量的方向是任意的；
D. 零向量与任何向量都不平行。
判断：如果向量 a ∥ b，则它们所在的直线一定平行。
📌 要点：向量平行 = 共线；直线平行 ≠ 直线重合。
判断：两个向量若模相等，则它们相等。
📌 口诀：相等向量看两条——大小相等、方向相同。
向量加法：三角形法则——把 b 平移，使 b 的起点接在 a 的终点上，则从 a 的起点到 b 的终点所得到的向量，就是 a + b。平行四边形法则——以 a 和 b 为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线向量就是 a + b。
向量减法：a − b = a + (−b)，其中 −b 是 b 的反向量（大小相等，方向相反）。几何意义：把 a 与 b 的起点放在同一点，则从 b 的终点指向 a 的终点所得到的向量就是 a − b。
数乘：实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是向量，其模为 |λ||a|，方向：λ > 0 时与 a 同向，λ < 0 时与 a 反向，λ = 0 时 λa = 0。
运算律：a + b = b + a（交换律）；(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）；λ(μa) = (λμ)a；(λ + μ)a = λa + μa；λ(a + b) = λa + λb。
① 加法：首尾相接——a + b 的几何意义是"先走 a，再走 b"。就像从 A 到 B，再从 B 到 C，总位移是向量 AC。
② 减法：共起点指向——a − b 是"从 b 的终点指向 a 的终点"。记忆方法：减法看"减号右侧"和"减号左侧"，从右侧终点指向左侧终点。例如 AB − AC = CB（从 C 指向 B）。
③ 数乘：伸缩方向——λa 是把 a "拉长"或"缩短"|λ| 倍。λ 的符号决定方向是否反转。
👉 共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是"存在唯一实数 λ，使 b = λa"。
常用减法规律：设 A、B、C 是平面上任意三点，则：
化简：AB − AD。
📌 口诀：共起点相减，从后指向前。AB − AD = DB。
已知 a 是向东的向量，求 −2a 的方向。
📌 要点：数乘时正负号决定方向是否反转，|λ| 决定长度倍率。
若 b = λa（λ 为实数），能否推出 a ∥ b？
📌 要点：共线定理强调"非零向量 a"这个前提，就是为了保证 λ 的存在性和唯一性。
平面向量基本定理：如果 e₁、e₂ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，存在唯一的一对实数 λ₁, λ₂，使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。不共线的向量 e₁、e₂ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
坐标表示：取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，对于平面内任意向量 a，存在唯一实数对 (x, y)，使 a = xi + yj，则 (x, y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)。
运算的坐标表示：若 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则：
· a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)；
· a − b = (x₁ − x₂, y₁ − y₂)；
· λa = (λx₁, λy₁)。
向量 AB 的坐标：若 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则 AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)。
共线的坐标条件：a ∥ b（b ≠ 0）⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0。
① 基底的作用——平面向量基本定理告诉我们：平面上任何一个向量都可以用两个不共线的向量唯一表示。这两个向量就是"基底"。有了基底，向量问题就变成了实数对的运算问题。
② 直角坐标系的基底——取 i = (1, 0)，j = (0, 1) 作为基底，那么任何向量 a = (x, y) 就表示 a = xi + yj。这种表示方法叫做"坐标表示"，让向量的运算变成了"数"的运算。
③ 共线条件的坐标形式——a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则
a ∥ b ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0。
这个式子叫"交叉相乘差为零"，是判断向量共线的标准工具。
👉 解题思路：向量问题如果可以用坐标表示，就用坐标方法；否则用基底或几何方法。三种方法各有所长。
已知点 A(1, 2)，B(3, 5)，下列说法正确的是（ ）
A. 向量 AB = (4, 7)；
B. 向量 AB = (2, 3)；
C. 向量 AB 的坐标就是点 B 的坐标 (3, 5)；
D. 向量 AB = (−2, −3)。
📌 口诀：向量坐标等于"终点减起点"。
已知 a = (3, 4)，b = (6, 8)，判断 a 与 b 是否共线。
📌 口诀：共线条件"交叉相乘相减"——x₁y₂ − x₂y₁。
已知 e₁ = (1, 0)，e₂ = (2, 0)，向量 a = (3, 0) 能否用 e₁, e₂ 表示？
📌 要点：基底必须"不共线"，这是唯一表示的前提。
夹角：已知两个非零向量 a、b，作 OA = a，OB = b，则 ∠AOB 叫做 a 与 b 的夹角，记作 ⟨a, b⟩。⟨a, b⟩ 的取值范围是 [0, π]。
数量积：两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则数量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积（也叫内积），记作 a · b。即 a · b = |a||b|cos θ。
坐标形式：若 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则 a · b = x₁x₂ + y₁y₂。
重要性质：
· |a|² = a · a；
· a ⊥ b ⟺ a · b = 0（垂直）；
· 夹角公式：cos θ = (a · b)/(|a||b|)；
· |a ± b|² = |a|² ± 2a·b + |b|²。
① 结果类型不同——这是最容易混淆的地方：
所以"a · b"读作"a 点乘 b"，不能读作"a 乘 b"。
② 数量积的几何意义——a · b = |a||b|cos θ，也可以理解为"a 的模 × b 在 a 方向上的投影"。投影是一个实数（可正、可负、可零）。
③ 垂直的判定——a ⊥ b ⟺ a · b = 0。这是向量中最重要的判定垂直的工具，比用斜率判定更通用。
👉 数量积的三大用途：
已知 a · b = 5，判断 b · a 的值。
📌 要点：数量积是可交换的（结果都是实数，不涉及方向）。
已知 a · b = a · c（a ≠ 0），能否推出 b = c？
📌 口诀：数量积不能"约"，两个向量点乘结果相等等价于两个向量有相同投影。
已知 a · b < 0，判断 a 与 b 的夹角 θ。
📌 要点：夹角范围是 [0, π]，端点 0 和 π 都要考虑。
平面向量是上海高考数学的高频考点，通常以小题形式出现，也经常作为解答题的"工具"使用。主要考查位置：
近五年上海卷中，向量是每年必考的内容。2025年第8题、第10题连续两道向量题。作为后续章节的重要工具，掌握好本章基础至关重要。