周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x + T) = f(x)，那么 f(x) 叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。如果在所有正周期中存在最小的一个，则称它为最小正周期。
正弦函数 y = sin x：定义域 R，值域 [−1, 1]，最小正周期 2π，奇函数。在 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上单调递增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 上单调递减。
余弦函数 y = cos x：定义域 R，值域 [−1, 1]，最小正周期 2π，偶函数。在 [−π + 2kπ, 2kπ] 上单调递增，在 [2kπ, π + 2kπ] 上单调递减。
正切函数 y = tan x：定义域 {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}，值域 R，最小正周期 π，奇函数。在每个开区间 (π/2 + kπ, π/2 + kπ + π) 内单调递增。
① 五点法——画 y = sin x 在一个周期 [0, 2π] 内的图像，只需取五个关键点：
把这五点用光滑曲线连起来，就得到正弦曲线的一个周期。余弦曲线可以看作正弦曲线向左平移 π/2 得到。
② 对称性：
③ 单调区间的"局部性"——三角函数的单调区间都是形如"加 2kπ"的周期延拓，不能写成"在定义域上单调"。例如 y = sin x 不能说"在 R 上单调递增"。
👉 记忆口诀：正弦奇、余弦偶、正切奇；周期正弦余弦 2π，正切 π。
写出函数 y = sin x 的单调递增区间。
📌 口诀：三角函数的单调区间，永远带 2kπ 或 kπ。
求函数 y = tan(2x) 的定义域。
📌 要点：复合函数求定义域，要把内层整体满足外层的要求。
y = sin x 的对称轴和对称中心分别是什么？
函数 y = A sin(ωx + φ)（A > 0，ω > 0）中，各参数的名称与意义：
· A 叫做振幅，函数的最大值为 A，最小值为 −A，值域为 [−A, A]；
· ω 叫做角频率，函数的最小正周期 T = 2π/ω；
· ωx + φ 叫做相位，当 x = 0 时，相位为 φ，φ 叫做初相。
频率 f = 1/T = ω/(2π)。
① A 控制"高矮"——振幅 A 决定了函数的最大值和最小值。A 越大，图像上下波动越剧烈，但横向形状不变。
② ω 控制"疏密"——角频率 ω 决定了周期。ω 越大，周期越短，图像在横轴上"压缩"得越密。
③ φ 控制"左右位置"——初相 φ 决定了函数图像在横轴上的平移位置。φ 越大，图像整体向左移动越多（"左加右减"）。
对称中心的求法：令 ωx + φ = kπ，解得 x = (kπ − φ)/ω，对称中心为 ((kπ − φ)/ω, 0)。
对称轴的求法：令 ωx + φ = π/2 + kπ，解得 x = (π/2 + kπ − φ)/ω，对称轴为 x = (π/2 + kπ − φ)/ω。
👉 求单调区间的方法：把 ωx + φ 看作一个整体 u，代入 y = sin u 的单调区间，解不等式即可。
函数 y = sin(2x − π/3) 的初相是多少？
📌 要点：把式子写成 "ωx + φ" 的形式，φ 包括它前面的符号。
求函数 y = sin(−2x + π/3) 的单调递增区间。
📌 口诀：ω 为负，先化为正，再讨论单调性。
求函数 y = 3sin(2x + π/6) + 1 的最小正周期。
📌 口诀：周期只看 ω，T = 2π/ω。
由 y = sin x 的图像变换到 y = A sin(ωx + φ)（A > 0，ω > 0）的图像，有两种常见路径：
路径一（先平移后伸缩）：
① y = sin x 图像向左（φ > 0）或向右（φ < 0）平移 |φ| 个单位，得 y = sin(x + φ)；
② 再把横坐标变为原来的 1/ω 倍（纵坐标不变），得 y = sin(ωx + φ)；
③ 再把纵坐标变为原来的 A 倍（横坐标不变），得 y = A sin(ωx + φ)。
路径二（先伸缩后平移）：
① 把 y = sin x 的横坐标变为原来的 1/ω 倍，得 y = sin(ωx)；
② 再向左（φ > 0）或向右（φ < 0）平移 |φ|/ω 个单位，得 y = sin(ωx + φ)；
③ 再把纵坐标变为原来的 A 倍，得 y = A sin(ωx + φ)。
本质原因——从 y = sin(ωx) 到 y = sin(ωx + φ)，要把"ωx + φ"看成"ω(x + φ/ω)"，也就是说对自变量 x 的净平移量是 φ/ω，不是 φ。
举个例子：y = sin(2x) 要变成 y = sin(2x + π/3)。
两种路径的对比：
👉 推荐路径：考试中通常用"先平移后伸缩"，因为平移量是 φ，不容易记错。但如果题目要求"先伸缩"，就必须用 φ/ω。
由 y = sin 2x 的图像得到 y = sin(2x + π/3) 的图像，应如何平移？
📌 口诀：先伸缩后平移，平移量是 φ/ω，不是 φ。
把 y = sin x 的图像"横坐标缩短为原来的 1/2 倍"，得到什么函数的图像？
📌 口诀：横缩 x 前乘，纵缩 y 前乘；横向变 x，纵向变 y。
要把 y = sin x 变为 y = sin(2x + π/3)，如果先平移 π/3 再横向压缩 1/2，对吗？
📌 要点：使用"先平移"路径时，平移量是 φ；使用"先伸缩"路径时，平移量是 φ/ω。两条路径各自的步骤必须严格配套。
在物理中，简谐运动（如弹簧振子、单摆）的位移随时间变化可以用函数 y = A sin(ωt + φ) 描述，其中：
· A 是振幅（离开平衡位置的最大距离）；
· T = 2π/ω 是周期（完成一次全振动的时间）；
· f = 1/T = ω/(2π) 是频率（单位时间内振动的次数）；
· ωt + φ 是相位，φ 是初相。
① 明确变量——确定自变量（通常是时间 t）和因变量（位移 y、高度 h 等）。
② 确定模型——判断是否满足简谐运动规律 y = A sin(ωt + φ) + b（b 为平衡位置偏移）。
③ 确定参数——
④ 求解问题——利用模型计算特定时刻的数值，或反过来求达到特定数值的时刻。
👉 求解"何时达到最高点"这类问题，转化为解三角方程；解方程时注意周期内有多个解，要根据实际意义取舍。
某物体在竖直方向做简谐运动，离地面高度的最大值为 8 m，最小值为 2 m，求振幅和平衡位置高度。
📌 要点：一般简谐运动模型为 y = A sin(ωt + φ) + b，b 是平衡位置。
某简谐运动 y = 2sin(πt + π/6)，求物体经过平衡位置的时刻。
📌 要点：三角方程的解是"通解"，有无数个；实际应用时根据自变量的取值范围取舍。
某简谐运动的最大值为 3，最小值为 −3，周期为 4，且 t = 0 时位移为 3。求它的函数表达式。
📌 要点：确定 φ 用初始条件——把 t = 0 和 y(0) 代入模型，解出 φ。
三角函数是上海高考数学的核心考点之一，考查形式稳定，既出现在小题中，也出现在解答题中。主要考查位置：
近五年上海卷中，三角函数图像与性质是每年必考的内容。2024年第18题、2025年第18题均以 y = A sin(ωx + φ) 为背景考查性质。掌握本章的公式和变换规律，是稳拿基础分的关键。