任意角：一条射线绕端点旋转，按逆时针方向旋转所成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，不作旋转所成的角叫做零角。
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合、始边与 x 轴正半轴重合，此时角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。终边落在坐标轴上的角不属于任何象限。
终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，构成集合 S = {β | β = α + k·360°, k ∈ Z}。
弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。角度与弧度的换算：π rad = 180°，即 1 rad = (180/π)° ≈ 57.3°，1° = π/180 rad。
弧长与扇形面积公式：弧长 l = |α|·R；扇形面积 S = (1/2)lR = (1/2)|α|R²（其中 α 为圆心角的弧度数）。
① 角度制的局限——角度是用"90 等分圆周"来定义的，与实数没有直接对应。而数学分析、微积分中，自变量必须是实数，三角函数的自变量需要是一个"数"，不是一个带单位的角度。
② 弧度制的优势——1 弧度定义为"弧长等于半径时的圆心角"，因为弧长和半径都是长度，所以弧度是一个纯数（实数），可以直接作为函数的自变量。此外，弧度制下有很多漂亮的公式（如 lim(x→0) sin x / x = 1）。
③ 象限角的判定——把角写成 α = α₀ + k·360°（k ∈ Z）的形式，其中 α₀ ∈ [0°, 360°)，然后看 α₀ 落在哪个象限，α 就是第几象限角。
👉 记忆要点：π 弧度 = 180°，π/2 弧度 = 90°，π/6 弧度 = 30°。常用角度→弧度换算必须熟练。
计算 sin 30 的值。
判断 1000° 是第几象限角。
📌 口诀：看象限先去整圈（360° 的整数倍）。
已知半径为 2 的扇形，圆心角为 π/4，求其面积。
📌 要点：公式与角度单位必须匹配，不能混用。
设角 α 的终边上任意一点 P(x, y)（P 与原点不重合），|OP| = r = √(x² + y²) > 0，则：
正弦：sin α = y/r；余弦：cos α = x/r；正切：tan α = y/x（x ≠ 0）。
三角比在各象限的符号：
· 第一象限：全部为正（sin+, cos+, tan+）；
· 第二象限：只有 sin 为正；
· 第三象限：只有 tan 为正；
· 第四象限：只有 cos 为正。
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
① 从定义直接推导——r 永远是正数，所以：
② 记忆方法——不用死记"一全正、二正弦、三正切、四余弦"，可以从定义直接推出：
第一象限：x > 0, y > 0，全部正；
第二象限：x < 0, y > 0，sin 正、cos 负、tan 负；
第三象限：x < 0, y < 0，sin 负、cos 负、tan 正；
第四象限：x > 0, y < 0，sin 负、cos 正、tan 负。
👉 三角比的值只与终边位置有关，与终边上点的位置无关。
已知 sin α = 3/5，求 cos α。
📌 口诀：开平方必须讨论正负号，除非象限已确定。
已知角 α 的终边经过点 P(3, −4)，求 sin α 的值。
📌 要点：三角比不是 x、y 本身，而是 x、y 除以 r 的比值。
求 tan α 在 α = 90° 时的值。
📌 要点："不存在"不是"∞"，因为 ∞ 不是实数。
对任意角 α（使各式有意义），有：
① 平方关系：sin²α + cos²α = 1。
② 商数关系：tan α = sin α / cos α（cos α ≠ 0，即 α ≠ π/2 + kπ）。
由这两个基本关系可以推导出：
· sin²α = 1 − cos²α = (1 − cos α)(1 + cos α)；
· tan α · cot α = 1（cot α = cos α / sin α 为余切，α ≠ kπ）；
· 1 + tan²α = 1/cos²α（α ≠ π/2 + kπ）；
· 1 + cot²α = 1/sin²α（α ≠ kπ）。
核心思路：已知 sin、cos、tan 三者中任意一个，可以求出另外两个。
具体方法：
👉 关键：凡是用平方关系，都必须讨论象限或根据题目给的信息确定符号。
常见化简技巧：
已知 tan α = 3/4，求 sin α。
📌 要点：tan 为正时，角在第一或第三象限，sin 的符号相反。
已知 tan α = 2，求 sin²α − cos²α 的值。
已知 sin α + cos α = 1/2，判断 sin α 与 cos α 的符号。
设 α 为任意角，则以下各组公式成立（k ∈ Z）：
· 公式一：sin(α + 2kπ) = sin α；cos(α + 2kπ) = cos α；tan(α + 2kπ) = tan α。
· 公式二：sin(π + α) = −sin α；cos(π + α) = −cos α；tan(π + α) = tan α。
· 公式三：sin(−α) = −sin α；cos(−α) = cos α；tan(−α) = −tan α。
· 公式四：sin(π − α) = sin α；cos(π − α) = −cos α；tan(π − α) = −tan α。
· 公式五：sin(π/2 − α) = cos α；cos(π/2 − α) = sin α。
· 公式六：sin(π/2 + α) = cos α；cos(π/2 + α) = −sin α。
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。
① 什么时候用——当角表示为 π/2·k ± α 形式时（k 为整数），可用此口诀化简。
② "奇变偶不变"——看 k 的奇偶性：
③ "符号看象限"——把 α 视为锐角（α ∈ (0, π/2)），判断原角 π/2·k ± α 所在象限，再根据该象限的符号规则，得到化简后函数前的正负号。
具体步骤示例：化简 sin(π + α)。
👉 提醒：口诀中的 α 是"视为锐角"，与 α 实际所在的象限无关。这一点初学者常犯错。
已知 α 是第三象限角，化简 sin(π − α)。
📌 要点：口诀中的 α 永远是"视为锐角"，不要代入实际象限。
化简：sin(π + α)·cos(π − α)/tan(−α)。
化简：tan(π/2 + α)。
两角和差公式：
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β；
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β；
tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)。
二倍角公式（令 β = α）：
sin 2α = 2 sin α cos α；
cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α；
tan 2α = 2tan α / (1 − tan²α)。
降幂公式（由 cos 2α 变形）：
sin²α = (1 − cos 2α)/2；cos²α = (1 + cos 2α)/2。
① 余弦公式的"符号相反"——cos(α + β) 展开后是"cos·cos − sin·sin"，用"−"号；cos(α − β) 展开后是"cos·cos + sin·sin"，用"+"号。记忆方法：余弦公式里，"和"对应"减"，"差"对应"加"。
② 正弦公式的"符号相同"——sin(α + β) 展开后是"sin·cos + cos·sin"，用"+"号；sin(α − β) 展开后是"sin·cos − cos·sin"，用"−"号。记忆方法：正弦公式里，符号保持一致。
③ 二倍角公式是"和角公式"的特例——把 β 换成 α 就得到二倍角公式，所以只要记住和差角公式，二倍角公式自然能推出来。
④ 余弦二倍角的三种形式——cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α。三种形式在解题时视情况选用：
👉 降幂公式常用于化简 sin²α、cos²α，是处理三角函数"高次"问题的关键工具。
化简：cos(α + β)。
📌 口诀：正弦同号，余弦反号。
已知 sin α = 4/5，求 sin 2α 的值。
化简：2cos²α − 1。
📌 要点：看到 2cos²α − 1 立即想到 cos 2α；看到 cos²α 立即想到 (1 + cos 2α)/2。
在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，三角形外接圆半径为 R。
正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R。
余弦定理：
a² = b² + c² − 2bc cos A；
b² = a² + c² − 2ac cos B；
c² = a² + b² − 2ab cos C。
推论（求角）：cos A = (b² + c² − a²)/(2bc)，等等。
三角形面积公式：S = (1/2)ab sin C = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B。
① 正弦定理适用条件（"已知两角一边"或"已知两边及其中一边的对角"）：
② 余弦定理适用条件（"已知两边及夹角"或"已知三边"）：
③ SSA 情形的"两解"问题——已知 a, b, A（其中 A 为锐角），用正弦定理求 B 时，可能出现 B 为锐角或钝角两种情况。判定方法：
👉 判断技巧：SSA 情形，大边对大角——若 a 是较小边，则 A 也是较小角，求出的 B 可能为锐角或钝角两种情况。
在 △ABC 中，已知 a = 3, b = 4, A = 30°，求 B 的值。
📌 要点：SSA 情形下求角，必须检查是否两解——大边对大角，A 为锐角时，B 可能也是锐角或钝角。
在 △ABC 中，a = 2, b = 3, c = 4，求 cos C。
📌 口诀：求哪条边对的角，就用"其他两边的平方和减去这条边的平方"。
在 △ABC 中，a = 3, b = 4, C = 30°，求三角形面积。
📌 要点：S = (1/2)ab sin C 中的角必须是 a、b 的夹角 C，不能随意换。
三角是上海高考数学的重点板块之一，每年必考，且分值稳定。本章既是独立考点，又是后续导数、解析几何的基础工具。主要考查位置：
近五年上海卷中，解三角形几乎每年出现在解答题前两题（14分）。2025年第17题、2024年第17题均为解三角形。掌握好本章基础，是确保稳定拿分的关键。