设 A、B 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f(x)，x ∈ A。
其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域。
函数三要素：定义域、值域、对应法则。
① 一对一是关键——教材定义中最重要的是"唯一确定"：给定一个 x，必须对应唯一的 y。这就是为什么 y² = x 不是函数（x = 1 时 y = 1 或 −1，不唯一），而 y = x² 是函数。
② 三要素中最重要的是定义域——定义域和对应法则一旦确定，值域也就确定了。所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应法则是否都相同，与"用什么字母表示自变量"无关。
③ 求定义域的常见限制条件（必须全部考虑）：
👉 口诀：分母不为零，偶根被开非负，对数真数正，底零幂底非零。
y = x 的定义域为 R，对应法则为"x 对应 x"。
求函数 f(x) = √(x + 2)/(x² − 1) + (x − 1)⁰ 的定义域。
求函数 f(x) = (x² − 1)/(x − 1) 的定义域与化简结果。
📌 口诀：先定义域，后化简。化简只在定义域内进行。
设 A = {1, 2, 3}，B = {1, 4, 9, 16}，对应法则 f: x → x²。问：f 是否构成 A 到 B 的函数？值域是什么？
📌 要点：值域是"所有实际取到的函数值"，是 B 的子集，不一定等于 B。
函数有三种常用表示法：解析法（用数学式子表示）、列表法（用表格列出自变量与函数值的对应）、图像法（用图形表示）。
在定义域内不同区间上用不同解析式表示的函数，叫做分段函数。
分段函数是一个函数，不是多个函数；它的定义域是各段定义域的并集。
① 分段函数是一个函数——虽然它由多个式子组成，但整体是一个函数。做题时必须先判断 x 落在哪一段，再选对应的解析式代入。
② 定义域是各段的并集——各段定义域之间可以有交集吗？一般没有（否则 x 对应多个 y，不满足"唯一确定"）。通常按区间的形式分段：如"x < 0 时 y = 2x，x ≥ 0 时 y = x²"。
③ 值域是各段值域的并集——先求每段的值域，再合起来。
👉 关键提醒：求 f(f(a)) 时，一定要先算内层得到结果，再判断结果落在哪一段，选对应解析式求外层。
已知 f(x) = { x²，x ≥ 0；−x，x < 0 }，求 f(f(−2))。
已知 f(x) = { x + 1，x < 0；x²，x ≥ 0 }，求 f(0)。
📌 要点：分段函数在分界点处必须有且只有一个值，通过区间的开闭符号确定归属。
已知 f(x) = { x + 1，x < 0；x²，x ≥ 0 }，求 f(x) 的值域。
单调性：设函数 f(x) 的定义域为 I，区间 D ⊆ I，如果对 D 内任意两个自变量 x₁, x₂，当 x₁ < x₂ 时：
· 都有 f(x₁) < f(x₂)，则称 f(x) 在 D 上单调递增；
· 都有 f(x₁) > f(x₂)，则称 f(x) 在 D 上单调递减。
奇偶性：设函数 f(x) 的定义域为 I（必须关于原点对称）：
· 若对任意 x ∈ I，都有 f(−x) = −f(x)，则称 f(x) 为奇函数，图像关于原点对称；
· 若对任意 x ∈ I，都有 f(−x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数，图像关于 y 轴对称。
① 单调性是"局部概念"——单调性必须指明区间。例如 y = 1/x 在 (−∞, 0) 上递减、在 (0, +∞) 上递减，但不能说它在整个定义域上递减。因为取 x₁ = −1 < x₂ = 1，f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1，与"递减"矛盾。
② 奇偶性有"定义域对称"这个前提——如果定义域不关于原点对称（例如 [−1, 2]），直接判定"非奇非偶"，不需要再看 f(−x) 和 f(x) 的关系。
③ 判断奇偶性的标准步骤：
👉 奇偶性速记：奇函数 f(−x) = −f(x)，偶函数 f(−x) = f(x)。也可以记成：奇函数"拿负号出去"，偶函数"负号没用"。
判断 f(x) = x³ + x² 的奇偶性。
📌 要点：判断奇偶性两步走——先看定义域，再算 f(−x)。
函数 f(x) = 1/x 的单调递减区间是 ______。
📌 口诀：单调区间不能"合并"，"和"字是关键词。
已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，那么 f(0) 的值是多少？
📌 要点：如果 0 在奇函数的定义域内，则必有 f(0) = 0。反之不成立（f(0) = 0 不一定奇函数）。
最值：设函数 f(x) 的定义域为 I，如果存在 x₀ ∈ I，使得对任意 x ∈ I 都有：
· f(x) ≤ f(x₀)，则称 f(x₀) 是 f(x) 的最大值；
· f(x) ≥ f(x₀)，则称 f(x₀) 是 f(x) 的最小值。
零点：使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 f(x) 的零点。函数的零点、方程 f(x) = 0 的根、函数图像与 x 轴交点的横坐标，三者等价。
零点存在定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上的图像是连续不断的一条曲线，且 f(a)·f(b) < 0，则存在 c ∈ (a, b) 使 f(c) = 0。
① 最值必须是"取到"的——最大值 f(x₀) 中的 x₀ 必须存在。如果函数无限趋近某个数但永远取不到，那就不叫最大值。例如 y = 1/x 在 (0, +∞) 上无最大值（可任意大），也无最小值（无限接近 0 但取不到）。
② 二次函数在闭区间上的最值——分三种情况讨论：
③ 零点存在定理的条件——三个条件缺一不可：
👉 重要提醒：零点存在定理是"存在性定理"——它只能说明有零点，不能告诉我们有几个零点。例如 f(x) = x³ − x 在 [−2, 2] 上满足端点异号，但有 3 个零点。
求 f(x) = x² − 2x + 3 在区间 [2, 4] 上的最小值。
📌 要点：二次函数在闭区间上的最值，必须先判断对称轴与区间的位置关系。
函数 f(x) 在 [a, b] 上满足 f(a)·f(b) > 0，能否说明 f(x) 在 [a, b] 上无零点？
📌 口诀：异号必有，同号未必无。
函数 f(x) = x² − 4 的零点是 ______。
函数是高中数学的核心中的核心。本章涵盖的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、零点等，是后续学习导数、数列、不等式的通用工具。上海高考对本模块的考查特点：
近五年上海卷中，函数的奇偶性（2023年第9题、2026年第5题）、分段函数（2020年第11题）、零点存在定理（2021年第13题）均出现过。作为核心章节，本章基础越扎实，后续导数、解析几何的优势越明显。