第4章幂函数、指数函数与对数函数

1幂函数

教材概念

教材原文

一般地，形如 y = xᵅ（α 为常数，α ∈ R）的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数指数。

高中重点研究的五个幂函数：y = x、y = x²、y = x³、y = x^(1/2)、y = x⁻¹。

所有幂函数的图像都经过点 (1, 1)。

概念解读

幂函数 vs 指数函数（本质区别）

幂函数 y = xᵅ：底数是自变量，指数是常数。例如 y = x², y = x³, y = √x。

指数函数 y = aˣ：底数是常数，指数是自变量。例如 y = 2ˣ, y = (1/3)ˣ。

👉 记忆口诀：谁是变量谁是底，谁就是幂函数。看到 y = x² 和 y = 2ˣ，一眼就要分清。

幂函数的性质由 α 决定：

α > 0 时：在 (0, +∞) 上单调递增；α > 1 时图像"上凹"，0 < α < 1 时图像"下凸"。
α < 0 时：在 (0, +∞) 上单调递减。
奇偶性：α 为整数时，奇数是奇函数，偶数是偶函数；α 为分数时，分母为偶数则定义域受限（通常只在 [0, +∞) 上研究）。
过定点：所有幂函数都过 (1, 1)；α > 0 时还过 (0, 0)。

① 五个常见幂函数的图像（第一象限）

观察要点：
· 五条曲线都经过 (1, 1)，这是幂函数的共同特征；
· α > 0 的三条（x, x², x³, √x）在第一象限都递增；
· α < 0 的 y = 1/x 在第一象限递减；
· 在 x > 1 的区域，α 越大，曲线越"陡"（增长越快）：x³ > x² > x > √x。

② 幂函数 vs 指数函数：图像形态完全不同

核心区别：
· y = x² 是幂函数，抛物线形状，图像关于 y 轴对称；
· y = 2ˣ 是指数函数，始终在 x 轴上方，左边靠近 x 轴，右边快速上升。
考试中经常通过"图像辨认"来考查对这两类函数的理解。

③ 幂指数 α 对图像的影响（x > 1 时）

要点：在 x > 1 的区域，α 越大，曲线越陡。用一句话概括："大指数上升快"。这个规律在比较幂的大小时非常有用。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

判断下列函数是否为幂函数，并说明理由：
（1）y = x³；（2）y = 2ˣ；（3）y = x² + 1；（4）y = √x。

💡 提示：幂函数的标准形式是 y = xᵅ（底数是 x，指数是常数）。

答案与详解

（1）y = x³：是幂函数，符合 y = xᵅ 形式，α = 3。✓

（2）y = 2ˣ：不是幂函数。指数是变量，底数是常数，这是指数函数。

（3）y = x² + 1：不是幂函数。多了常数项 +1，不满足 y = xᵅ 的纯幂形式。

（4）y = √x：是幂函数，因为 √x = x^(1/2)，符合 y = xᵅ 形式，α = 1/2。✓

答案：（1）（4）是幂函数，（2）（3）不是。

例 2

比较大小：(1) 1.5^(1/2) 与 1.4^(1/2)；(2) 0.5^3 与 0.5^5。

💡 提示：先用幂函数的单调性判断，再用指数函数的单调性判断。

答案与详解

（1）两个底数不同，但指数都是 1/2

用幂函数 y = x^(1/2) 的性质：α = 1/2 > 0，在 [0, +∞) 上单调递增。
因为 1.5 > 1.4，所以 1.5^(1/2) > 1.4^(1/2)。

（2）两个底数相同，指数不同

用指数函数 y = 0.5ˣ 的性质：底数 0 < 0.5 < 1，单调递减。
因为 3 < 5，所以 0.5³ > 0.5⁵。

答案：（1）>；（2）>。

例 3

已知幂函数 f(x) = x^(m² − 2m − 3)（m ∈ Z）是偶函数，且在 (0, +∞) 上单调递减，求 m 的值。

💡 提示：偶函数 ⟹ 指数为偶数；单调递减 ⟹ 指数 < 0。

答案与详解

根据单调递减确定指数范围

幂函数在 (0, +∞) 上单调递减 ⟹ 指数 m² − 2m − 3 < 0。
即 (m−3)(m+1) < 0，解得 −1 < m < 3。

根据 m ∈ Z 列举

m 可能的整数值：0, 1, 2。

根据偶函数筛选

· m = 0：指数 = −3（奇数），对应 y = x⁻³，是奇函数，舍去；
· m = 1：指数 = 1 − 2 − 3 = −4（偶数），对应 y = x⁻⁴，是偶函数 ✓；
· m = 2：指数 = 4 − 4 − 3 = −3（奇数），是奇函数，舍去。

答案：m = 1。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 混淆幂函数与指数函数

判断函数 y = x^(π) 和 y = πˣ 分别是什么函数？

错误做法：都称为"指数函数"或都称为"幂函数"。

正确做法：
· y = x^π：底数是 x（变量），指数是 π（常数）⟹ 幂函数；
· y = πˣ：底数是 π（常数），指数是 x（变量）⟹ 指数函数。

📌 口诀：看谁是变量——"x 在底"是幂函数，"x 在指数"是指数函数。

易错点 2 · 幂函数定义域未讨论

求函数 y = x^(1/3) 与 y = x^(1/2) 的定义域。

错误做法：认为幂函数的定义域都是 R。

正确做法：
· y = x^(1/3) = ∛x，定义域为 R（奇次方根对负数也有意义）；
· y = x^(1/2) = √x，定义域为 [0, +∞)（偶次方根要求被开方数 ≥ 0）。
规律：α = m/n（既约分数）时，分母 n 为奇数 → 定义域为 R；n 为偶数 → 定义域为 [0, +∞)。

易错点 3 · 比较幂值时误用函数类型

比较 2^0.5 与 0.5^2 的大小。

错误做法：误认为两者底数、指数都不同，无法直接比较。

正确做法：找中间量 1 作为参照。
· 2^0.5 = √2 ≈ 1.414 > 1；
· 0.5² = 0.25 < 1。
所以 2^0.5 > 0.5²。

📌 技巧：底数、指数都不同的比较，先找中间量（常用 0 或 1），再用"传递性"。

2指数函数

教材概念

教材原文

一般地，函数 y = aˣ（a > 0 且 a ≠ 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，定义域为 R。

图像与性质：

① 定义域 R，值域 (0, +∞)；

② 图像恒过定点 (0, 1)；

③ 当 a > 1 时，在 R 上单调递增；当 0 < a < 1 时，在 R 上单调递减；

④ 图像始终在 x 轴上方，x 轴是渐近线。

概念解读

为什么要求 a > 0 且 a ≠ 1？

① a > 0——如果 a < 0，当 x 取分数（如 x = 1/2）时，a^(1/2) = √a 无实数意义（负数开偶次方无意义）。所以为了避免"时而有时而无意义"，规定 a > 0。

② a ≠ 1——如果 a = 1，则 y = 1ˣ = 1 是常函数，无单调性，无法体现指数函数的特征。所以排除 a = 1。

指数函数的图像特征：

永远在 x 轴上方（值域为正），x 轴是渐近线；
恒过 (0, 1)（因为 a⁰ = 1）；
a > 1 时图像从左下往右上，a 越大增长越快；
0 < a < 1 时图像从左上往右下，a 越小衰减越快。

👉 底数 a 与 a' = 1/a 的图像关于 y 轴对称（如 y = 2ˣ 与 y = (1/2)ˣ）。

① 指数函数的图像：a > 1 与 0 < a < 1 两类

观察要点：
· 三条曲线都过 (0, 1)；
· y = 2ˣ 和 y = 3ˣ 是递增函数（a > 1），且 3ˣ 比 2ˣ 增长更快；
· y = (1/2)ˣ 是递减函数（0 < a < 1）；
· y = 2ˣ 与 y = (1/2)ˣ = 2⁻ˣ 关于 y 轴对称。

② 底数 a 与图像"陡度"的关系（x > 0 时）

要点：当 a > 1，x > 0 时，底数越大 y 值越大。用一句话概括："大底数上升快"。注意：当 x < 0 时，规律反过来（大底数的 y 值反而小）。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

比较大小：(1) 1.7^2.5 与 1.7^3；(2) 0.8^(−0.1) 与 0.8^(−0.2)；(3) 2^0.3 与 0.3^2。

💡 提示：前两题同底数，用指数函数单调性；第三题底数不同，找中间量。

答案与详解

（1）同底数 1.7 > 1，递增

1.7 > 1 ⟹ y = 1.7ˣ 递增 ⟹ 2.5 < 3 ⟹ 1.7^2.5 < 1.7^3

（2）同底数 0.8 < 1，递减

0 < 0.8 < 1 ⟹ y = 0.8ˣ 递减 ⟹ −0.1 > −0.2 ⟹ 0.8^(−0.1) < 0.8^(−0.2)

（3）底数、指数都不同，找中间量

2^0.3 > 2⁰ = 1；
0.3² = 0.09 < 1。
所以 2^0.3 > 0.3²。

答案：（1）<；（2）<；（3）>。

例 2

求函数 y = 2^(x² − 2x) 的单调递增区间。

💡 提示：复合函数单调性"同增异减"——外层 y = 2^u 递增，看内层 u 的单调性。

答案与详解

拆分复合结构

外层：y = 2^u（底数 2 > 1，在 R 上单调递增）；
内层：u = x² − 2x = (x − 1)² − 1。

分析内层 u 的单调性

u = (x−1)² − 1 是开口向上的抛物线，对称轴 x = 1。
在 (−∞, 1] 上 u 递减；在 [1, +∞) 上 u 递增。

"同增异减"复合

外层递增，内层递增 ⟹ 复合递增；
外层递增，内层递减 ⟹ 复合递减。

单调递增区间为 [1, +∞)。

例 3

求函数 y = (1/3)^(x² − 4x) 的最大值。

💡 提示：外层 y = (1/3)^u 递减，要使 y 最大，需要使 u 最小。

答案与详解

求 u 的最小值

u = x² − 4x = (x − 2)² − 4。
当 x = 2 时，u 取得最小值 −4。

代入外层函数

外层 y = (1/3)^u 是单调递减函数，u 越小，y 越大。
所以当 u = −4 时，y 取最大值：y = (1/3)^(−4) = 3⁴ = 81。

最大值 81，当 x = 2 时取得。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忽略底数范围讨论

若函数 f(x) = (a² − 1)ˣ 是指数函数，求实数 a 的取值范围。

错误做法：只写 a² − 1 > 0，得 a > 1 或 a < −1。

正确做法：底数必须满足 a² − 1 > 0 且 a² − 1 ≠ 1。
· a² − 1 > 0 ⟹ a > 1 或 a < −1；
· a² − 1 ≠ 1 ⟹ a² ≠ 2 ⟹ a ≠ ±√2。
综上：a ∈ (−∞, −√2) ∪ (−√2, −1) ∪ (1, √2) ∪ (√2, +∞)。

📌 要点：指数函数底数的两个条件（>0 且 ≠1）必须同时满足。

易错点 2 · 复合函数忘记定义域

求函数 y = 2^(1/x) 的定义域。

错误做法：认为指数函数的定义域是 R，所以 y = 2^(1/x) 的定义域也是 R。

正确做法：指数部分 1/x 中 x 不能为 0。
所以定义域为 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)。

📌 要点：指数函数的定义域是 R，但复合后要考虑指数部分的定义域。

易错点 3 · 比较大小方向弄反

比较 0.5^(−1) 与 0.5^(−2) 的大小。

错误做法：因为 −1 > −2，所以 0.5^(−1) > 0.5^(−2)。

正确做法：
底数 0 < 0.5 < 1 ⟹ y = 0.5ˣ 单调递减。
因为 −1 > −2，所以 0.5^(−1) < 0.5^(−2)。
验算：0.5^(−1) = 2，0.5^(−2) = 4，确实 2 < 4。✓

📌 口诀：底数小于 1，指数越大值越小——和底数大于 1 完全相反。

3对数函数

教材概念

教材原文

一般地，函数 y = log_a x（a > 0 且 a ≠ 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域为 (0, +∞)。

图像与性质：

① 定义域 (0, +∞)，值域 R；

② 图像恒过定点 (1, 0)；

③ 当 a > 1 时，在 (0, +∞) 上单调递增；当 0 < a < 1 时，在 (0, +∞) 上单调递减；

④ y 轴是渐近线，图像永远在 y 轴右侧。

重要关系：y = aˣ 与 y = log_a x 互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。

概念解读

对数函数与指数函数的"镜像"关系

① 反函数关系——y = aˣ 和 y = log_a x 互为反函数，这可以从指数与对数的互化直接推出。两个函数的图像关于直线 y = x 对称。

② 图像对称的具体表现：

指数函数过定点 (0, 1) ⟹ 对数函数过定点 (1, 0)；
指数函数以 x 轴为渐近线 ⟹ 对数函数以 y 轴为渐近线；
指数函数的值域是 R ⟹ 对数函数的定义域是 R；
指数函数的定义域是 R ⟹ 对数函数的值域是 R。

👉 理解反函数关系后，很多性质不用死记，直接从指数函数"镜像"过来就好。

① 对数函数图像：a > 1 与 0 < a < 1 两类

观察要点：
· 三条曲线都过 (1, 0)；
· y = log₂ x 和 y = log₃ x 是递增（a > 1），且在 x > 1 时 log₂ x > log₃ x（底数越大增长越慢）；
· y = log_(1/2) x 是递减（0 < a < 1）；
· y = log₂ x 与 y = log_(1/2) x 关于 x 轴对称。

② 指数函数与对数函数关于 y = x 对称

关键关系：y = 2ˣ 与 y = log₂ x 的图像关于直线 y = x 对称。
· 指数函数上的点 (0, 1) ⟹ 对数函数上有对称点 (1, 0)；
· 指数函数上的点 (1, 2) ⟹ 对数函数上有对称点 (2, 1)。
理解这个对称关系后，"指数与对数"的所有性质都能互相推导。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

比较大小：(1) log₂ 3 与 log₂ 5；(2) log_(1/3) 2 与 log_(1/3) 4；(3) log₂ 3 与 1。

💡 提示：前两题同底数，用对数函数单调性；第三题用中间量 1 = log₂ 2。

答案与详解

（1）底数 2 > 1，递增

y = log₂ x 在 (0, +∞) 上单调递增。
因为 3 < 5，所以 log₂ 3 < log₂ 5。

（2）底数 1/3 < 1，递减

y = log_(1/3) x 在 (0, +∞) 上单调递减。
因为 2 < 4，所以 log_(1/3) 2 > log_(1/3) 4。

（3）找中间量

1 = log₂ 2。
因为 3 > 2，且 y = log₂ x 递增，所以 log₂ 3 > log₂ 2 = 1，
即 log₂ 3 > 1。

答案：（1）<；（2）>；（3）>。

例 2

求函数 y = log₂ (x² − 4x + 5) 的定义域和值域。

💡 提示：先求真数部分的范围，再看对数函数值域。

答案与详解

求真数的范围

x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1。
因为 (x−2)² ≥ 0，所以 (x−2)² + 1 ≥ 1 > 0 恒成立。
所以定义域为 R。

求值域

令 u = x² − 4x + 5，则 u ≥ 1。
外层 y = log₂ u 在 u > 0 上单调递增。
当 u 取最小值 1 时，y 取最小值 log₂ 1 = 0；u 可以无限大，所以 y 无上界。

定义域 R，值域 [0, +∞)。

例 3

求函数 y = log_(1/2) (x² − 2x) 的单调递增区间。

💡 提示：先求定义域，再用"同增异减"。

答案与详解

先求定义域

x² − 2x > 0 ⟹ x(x − 2) > 0 ⟹ x < 0 或 x > 2。
定义域为 (−∞, 0) ∪ (2, +∞)。

拆分复合结构

外层：y = log_(1/2) u 是递减函数；
内层：u = x² − 2x，对称轴 x = 1，在 (−∞, 1] 递减，在 [1, +∞) 递增。

结合定义域和同增异减

· 在 (−∞, 0) 上：内层 u 递减，外层递减 ⟹ 复合递增；
· 在 (2, +∞) 上：内层 u 递增，外层递减 ⟹ 复合递减。

单调递增区间为 (−∞, 0)。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忘记先求定义域

求函数 y = log₂ (x² − 4x) 的单调递增区间。

错误做法：直接分析内层 u = x² − 4x 的对称轴 x = 2，得递增区间 [2, +∞)。

正确做法：
第一步：求定义域（这一步绝不能省）。
x² − 4x > 0 ⟹ x(x − 4) > 0 ⟹ x < 0 或 x > 4。
第二步：在定义域内讨论单调性。
外层 y = log₂ u 递增，内层 u = (x−2)² − 4 在 [2, +∞) 递增。
两者结合：复合函数在 (4, +∞) 上递增。

📌 口诀：对数函数复合题，先求定义域，再论单调性。

易错点 2 · 底数不确定时忘记讨论

已知 log_a 3 < log_a 5，判断 a 的取值范围。

错误做法：直接认为 a > 1。

正确做法：分两种情形。
· 若 a > 1，则 y = log_a x 递增，3 < 5 ⟹ log_a 3 < log_a 5，符合题意；
· 若 0 < a < 1，则 y = log_a x 递减，3 < 5 ⟹ log_a 3 > log_a 5，不符合题意。
所以 a > 1。

📌 要点：底数 a 含参时，必须分 a > 1 和 0 < a < 1 两类讨论。

易错点 3 · 混淆"关于 x 轴对称"与"关于 y = x 对称"

函数 y = log₂ x 与 y = log_(1/2) x 的图像有什么关系？

错误做法：认为关于 y = x 对称。

正确做法：
log_(1/2) x = −log₂ x（换底公式），所以两个函数值恰好互为相反数。
图像关于 x 轴对称。
对比：y = 2ˣ 与 y = log₂ x 才关于 y = x 对称（反函数关系）。

📌 要点：底数互为倒数的两个对数函数，图像关于 x 轴对称。

4函数图像变换

教材概念

教材原文

设函数 y = f(x) 的图像为 C：

平移变换：

· y = f(x) + b（b > 0）：图像 C 向上平移 b 个单位；

· y = f(x + a)（a > 0）：图像 C 向左平移 a 个单位（口诀：左加右减）。

对称变换：

· y = −f(x)：图像 C 关于 x 轴对称；

· y = f(−x)：图像 C 关于 y 轴对称；

· y = −f(−x)：图像 C 关于原点对称。

翻折变换：

· y = |f(x)|：保留 C 在 x 轴上方的部分，把下方部分翻折到 x 轴上方；

· y = f(|x|)：保留 C 在 y 轴右侧的部分，把右侧部分翻折到 y 轴左侧（左右对称）。

概念解读

平移变换"左右为什么反"？

关键理解：y = f(x + a) 中的 "+a" 加在自变量 x 上，不是加在函数值上。

举例：f(x) = x²，那 f(x + 1) = (x + 1)²。要得到与 f(0) = 0 相同的函数值，需要让 x + 1 = 0，即 x = −1。所以原来在 x = 0 处的图像"搬"到了 x = −1 处——向左边移动了。

对称变换速记：

加负号在 f 外 ⟹ 上下翻转（关于 x 轴对称）；
加负号在 x 上 ⟹ 左右翻转（关于 y 轴对称）；
两个负号都有 ⟹ 中心对称（关于原点对称）。

翻折变换的本质：

y = |f(x)|：函数值取绝对值，所以 x 轴下方（函数值为负）的部分被"翻"上来；
y = f(|x|)：自变量取绝对值，所以左右两边关于 y 轴对称（保留右侧，翻折到左侧）。

① 平移变换：左加右减，上加下减

观察要点：
· y = f(x) + 2（红）：原图像整体上移 2 个单位；
· y = f(x + 2)（绿）：原图像整体左移 2 个单位（注意是左移，不是右移！）；
· y = f(x − 2)（紫）：原图像整体右移 2 个单位。

② 对称变换：三种情况

速记口诀：
· 外负（−f(x)）：上下翻转，关于 x 轴对称；
· 内负（f(−x)）：左右翻转，关于 y 轴对称。

③ 翻折变换：y = |f(x)| 与 y = f(|x|)

两种翻折对比：
· y = |f(x)|：对函数值取绝对值，把 x 轴下方的部分翻上来；
· y = f(|x|)：对自变量取绝对值，把 y 轴右侧的部分翻到左侧（左右对称）。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

如何由 y = 2ˣ 的图像得到 y = 2^(x+1) − 3 的图像？

💡 提示：先把 y = 2ˣ 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位。

答案与详解

第一步：横向平移

y = 2ˣ → y = 2^(x+1)：图像向左平移 1 个单位。

第二步：纵向平移

y = 2^(x+1) → y = 2^(x+1) − 3：图像向下平移 3 个单位。

答案：先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位。

例 2

已知 f(x) = log₂ x，画出 y = |f(x)| 和 y = f(|x|) 的图像，并分别写出定义域。

💡 提示：|f(x)| 的定义域与 f(x) 相同；f(|x|) 的定义域需要考虑 |x| > 0。

答案与详解

y = |f(x)| = |log₂ x|

定义域与 f(x) 相同，为 (0, +∞)。
图像：x ∈ (0, 1) 时，log₂ x < 0，翻折成 −log₂ x；x ≥ 1 时保持不变。

y = f(|x|) = log₂|x|

要求 |x| > 0，即 x ≠ 0。
定义域为 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)。
图像：关于 y 轴对称（右侧为 log₂ x 部分，左侧为镜像）。

y = |log₂ x| 定义域 (0, +∞)；y = log₂|x| 定义域 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 平移方向弄反

y = f(x + 2) 相对于 y = f(x) 是如何平移的？

错误做法：看到 "+2" 就认为向右平移 2 个单位。

正确做法：f(x + 2) 中的 "+2" 加在自变量上，是左移 2 个单位。
验算：f(x) = x²。f(x+2) = (x+2)²，顶点从 (0,0) 变成 (−2,0)，确实是左移。✓

📌 口诀：左加右减（x 上 + 左移，x 上 − 右移）。

易错点 2 · 混淆 y = |f(x)| 与 y = f(|x|)

已知 f(x) = x² − 2x，比较 y = |f(x)| 与 y = f(|x|)。

正确做法：
· y = |f(x)| = |x² − 2x|：x 轴下方部分翻折上来，图像分三段；
· y = f(|x|) = |x|² − 2|x| = x² − 2|x|：右侧不变，左侧关于 y 轴对称。
两者完全不同，考试中经常通过代入 x = −1 检验：
· |f(−1)| = |1 + 2| = 3；
· f(|−1|) = f(1) = 1 − 2 = −1。
两者值不同，说明两个函数也不相同。

易错点 3 · 忘记翻折后定义域的变化

已知 f(x) = log₂ x 的定义域为 (0, +∞)，那么 y = f(|x|) 的定义域是什么？

错误做法：认为定义域还是 (0, +∞)。

正确做法：
f(|x|) = log₂|x|，自变量变成了 |x|。
要求 |x| > 0，即 x ≠ 0。
所以 定义域为 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)。

📌 要点：f(|x|) 的定义域是 f(x) 定义域关于原点的"对称扩展"。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

幂函数、指数函数、对数函数是高中数学的核心函数模型。上海高考中对本章的考查具有以下特点：

填空题（4—5分）：指数、对数比较大小；复合函数单调性或值域；含参范围问题
选择题（4—5分）：图像识别；函数性质综合
解答题：常与导数、不等式、数列综合

近五年上海卷中，本章内容年年考查。2023年第5题、2024年第10题、2025年第5题、2026年第5题均涉及。作为函数部分的"基础设施"，本章基础扎实与否，直接决定后续函数、导数板块的成败。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 指数对数比较大小

上海卷 · 填空第 5—6 题（4分）

设 a = 0.3²，b = 2^0.3，c = log₂ 0.3，则 a, b, c 的大小关系是 ______。

答案与详解

分别估值

· a = 0.3² = 0.09，在 (0, 1) 之间；
· b = 2^0.3，2 > 1 且 0.3 > 0 ⟹ b > 2⁰ = 1；
· c = log₂ 0.3，因为 0.3 < 1，且 y = log₂ x 递增，log₂ 0.3 < log₂ 1 = 0。

用 0 和 1 分界

c < 0 < a < 1 < b
即 c < 0.09 < 1 < b

答案：c < a < b。

题型：填空 4 分｜考点：指数、对数、幂函数比较大小｜难度：★★☆☆☆

真题 2 · 复合函数的单调区间

上海卷 · 填空第 9—10 题（5分）

函数 f(x) = log_(1/2) (x² − 2x − 3) 的单调递减区间为 ______。

答案与详解

第一步：求定义域

x² − 2x − 3 > 0 ⟹ (x−3)(x+1) > 0 ⟹ x < −1 或 x > 3。
定义域为 (−∞, −1) ∪ (3, +∞)。

第二步：外层与内层分析

外层：y = log_(1/2) u 递减；
内层：u = (x−1)² − 4，对称轴 x = 1，在 (−∞, 1] 上递减，在 [1, +∞) 上递增。

第三步：结合定义域"同增异减"

· 在 (−∞, −1) 上：内层 u 递减，外层递减 ⟹ 复合递增；
· 在 (3, +∞) 上：内层 u 递增，外层递减 ⟹ 复合递减。

答案：(3, +∞)。

题型：填空 5 分｜考点：复合函数单调性｜难度：★★★☆☆

真题 3 · 含参对数不等式

上海卷 · 填空/选择（4—5分）

已知 log_a 2 < 1，求实数 a 的取值范围。

答案与详解

把 1 写成 log_a a

原不等式变形为：log_a 2 < log_a a。

分两种情形讨论

· 情形一：a > 1。y = log_a x 递增，所以 2 < a，即 a > 2。与 a > 1 取交，得 a > 2。
· 情形二：0 < a < 1。y = log_a x 递减，所以 2 > a，即 a < 2。与 0 < a < 1 取交，得 0 < a < 1。

合并结果

两种情况取并集。

答案：a ∈ (0, 1) ∪ (2, +∞)。

题型：填空/选择 4—5 分｜考点：含参对数不等式｜难度：★★★☆☆

真题 4 · 函数图像变换

上海卷 · 填空第 10—12 题（5分）

已知函数 y = f(x) 的图像过点 (1, 2)，那么函数 y = f(x − 1) 的图像必过点 ______。

答案与详解

思路一：平移法

y = f(x − 1) 是 y = f(x) 向右平移 1 个单位。
原来过点 (1, 2)，右移 1 后过点 (2, 2)。

思路二：代入法（更严谨）

要求 y = f(x−1) 经过的点，需找到 x 使 x − 1 = 1（即原函数自变量为 1），
解得 x = 2，此时 y = f(1) = 2。
所以图像过 (2, 2)。

答案：(2, 2)。

题型：填空 5 分｜考点：函数图像平移｜难度：★★☆☆☆

本章总结（复习清单）

幂函数：y = xᵅ，过 (1, 1)；α > 0 递增，α < 0 递减；α 越大曲线越陡。
指数函数：y = aˣ（a > 0, a ≠ 1），过 (0, 1)，值域 (0, +∞)；a > 1 递增，0 < a < 1 递减。
对数函数：y = log_a x（a > 0, a ≠ 1），过 (1, 0)，定义域 (0, +∞)；与指数函数互为反函数，图像关于 y = x 对称。
图像变换：平移（左加右减，上加下减）；对称（外负关于 x 轴，内负关于 y 轴）；翻折（|f(x)| 把 x 轴下方翻上；f(|x|) 把右侧翻到左侧）。
复合函数单调性：先求定义域，再"同增异减"。
比较大小方法：同底用单调性；不同底找中间量（0 或 1）；含参时分类讨论。
本章最高频陷阱：底数含参时忘记讨论；复合函数忘记先求定义域；平移方向弄反。