第3章幂、指数与对数

1指数幂的扩展

教材概念

教材原文

正整数指数幂：aⁿ = a · a · … · a（n 个 a 相乘），其中 a 叫底数，n 叫指数。

零指数幂：a⁰ = 1（a ≠ 0）。

负整数指数幂：a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a ≠ 0，n ∈ N*）。

n 次方根：若 xⁿ = a，则 x 叫做 a 的 n 次方根。当 n 为奇数时，x = ⁿ√a（唯一）；当 n 为偶数时，若 a > 0，有两个互为相反数的 n 次方根 ±ⁿ√a；若 a = 0，有一个为 0；若 a < 0，无实数根。

分数指数幂：a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)（a > 0，m, n ∈ N*，n > 1）；a^(−m/n) = 1 / a^(m/n)（a > 0）。

概念解读

指数为什么可以扩展？

① 从正整数到整数——a⁰ 和 a⁻ⁿ 的定义，是为了让运算性质 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 在指数为 0 和负数时也能保持成立。例如 a³ · a⁻³ = a⁰，若想保持运算法则，就必须规定 a⁰ = 1。

② 从整数到分数——a^(1/2) 的定义，是为了让运算性质 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ 在 n = 1/2 时也能保持成立。例如 (a^(1/2))² 应等于 a¹ = a，所以 a^(1/2) 只能是 √a。

③ 底数限制 a > 0 的深层原因——如果允许 a < 0，则 (−1)^(1/2) = √(−1) 在实数范围无意义。为了分数指数幂在实数范围内有统一意义，规定底数 a > 0。这也是为什么对数要求真数为正。

👉 一句话概括：指数扩展的每一步，都是为了"保住运算性质"。

① 指数扩展的路线图

记忆线索：正整数 → 零 → 负整数 → 分数。每一步扩展都是"为了让运算法则继续成立"。这是数学中"扩展定义"的典型思路。

② 分数指数幂与根式的互化

要点：分数指数幂和根式可以自由互化。看见 ⁿ√(aᵐ) 就写成 a^(m/n)，看见 a^(m/n) 就写成 ⁿ√(aᵐ)。底数 a > 0 是硬性前提，否则可能出现负数开偶次方的问题。

③ 底数 a > 0 的限制为什么必要？

要点：为了保证分数指数幂在实数范围内有统一的、无歧义的意义，规定底数 a > 0。这也解释了对数中真数为什么必须为正——因为对数是指数的逆运算。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

化简：(1) 8^(2/3)；(2) 27^(−1/3)；(3) (1/16)^(−3/4)。

💡 提示：把底数写成幂的形式，再运用 a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ。

答案与详解

（1）8^(2/3)

8 = 2³，所以 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2^(3 · 2/3) = 2² = 4

（2）27^(−1/3)

27 = 3³，所以 27^(−1/3) = (3³)^(−1/3) = 3^(3 · (−1/3)) = 3⁻¹ = 1/3

（3）(1/16)^(−3/4)

1/16 = 2⁻⁴，所以 (1/16)^(−3/4) = (2⁻⁴)^(−3/4) = 2^(−4 · (−3/4)) = 2³ = 8

答案：（1）4；（2）1/3；（3）8。

例 2

化简：a^(2/3) · a^(1/2) ÷ a^(1/6)（a > 0）。

💡 提示：同底数幂乘除，指数相加或相减。

答案与详解

同底数幂的运算

a^(2/3) · a^(1/2) ÷ a^(1/6) = a^(2/3 + 1/2 − 1/6)

通分计算指数

2/3 + 1/2 − 1/6 = 4/6 + 3/6 − 1/6 = 6/6 = 1

所以原式 = a¹ = a。

例 3

已知 x^(1/2) + x^(−1/2) = 3，求 x + x⁻¹ 的值。

💡 提示：把 x^(1/2) + x^(−1/2) 平方。

答案与详解

两边平方

(x^(1/2) + x^(−1/2))² = 3²
展开左边：x + 2 · x^(1/2) · x^(−1/2) + x⁻¹ = 9
即 x + 2 + x⁻¹ = 9

求解

x + x⁻¹ = 9 − 2 = 7

答案：x + x⁻¹ = 7。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 负数开偶次方

化简：(−8)^(1/3) 与 (−8)^(2/6)。

错误做法：把 (−8)^(2/6) 直接写成 ⁿ√(aᵐ) 形式，即 ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2。

正确做法：分数指数幂要求底数 a > 0，所以 (−8)^(2/6) 本身就不符合定义，不能这样写。
· (−8)^(1/3) 可以写成 ∛(−8) = −2（因为 1/3 分母为奇数，负数开奇次方有意义）；
· 但 (−8)^(2/6) 里的 2/6 分母为偶数，等价于开偶次方，底数不能为负。

📌 口诀：分数指数幂，底数必须正；只有分母为奇数时，负数才允许开方。

易错点 2 · 混淆 a⁰ = 1 与 a ≠ 0

计算：(π − 3)⁰ + 0⁰。

错误做法：认为 (π−3)⁰ = 1，0⁰ = 0 或 1。

正确做法：
· π − 3 ≈ 0.14 ≠ 0，所以 (π−3)⁰ = 1；
· 0⁰ 在数学中无意义（没有定义），这道题的答案应该是"无意义"或"未定义"，不能写成任何数值。

📌 要点：a⁰ = 1 的前提是 a ≠ 0，0⁰ 不做定义。

易错点 3 · 化简 ⁿ√(aⁿ) 时忘记加绝对值

化简：√(x²) 与 ⁴√(x⁴)。

错误做法：直接写成 √(x²) = x，⁴√(x⁴) = x。

正确做法：
当 n 为偶数时，ⁿ√(aⁿ) = |a|。
· √(x²) = |x|；
· ⁴√(x⁴) = |x|。
当 n 为奇数时，ⁿ√(aⁿ) = a（无需绝对值）。如 ∛(x³) = x。

📌 口诀：偶次开方加绝对值，奇次开方不变号。

2指数与对数的互化

教材概念

教材原文

如果 aᵇ = N（a > 0，a ≠ 1），那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b = log_a N，其中 a 叫做底数，N 叫做真数。

指数式与对数式互化：aᵇ = N ⟺ b = log_a N。

常用对数：以 10 为底的对数，写作 lg N（省略底数 10）。

自然对数：以 e 为底的对数，写作 ln N（e ≈ 2.71828…）。

两个基本恒等式：log_a 1 = 0；log_a a = 1（a > 0，a ≠ 1）。

对数恒等式：a^(log_a N) = N（a > 0，a ≠ 1，N > 0）。

概念解读

对数是指数的逆运算

① 对数的本质——aᵇ = N 中，已知底数 a 和指数 b 求 N，是"乘方运算"；已知底数 a 和结果 N 求指数 b，就是"对数运算"。所以对数运算和指数运算是一对逆运算，就像加法与减法、乘法与除法一样。

② 底数与真数的限制——为什么要求 a > 0, a ≠ 1, N > 0？

a > 0：由前面的指数扩展可知，底数必须为正才能定义分数指数幂。
a ≠ 1：如果 a = 1，则 1ᵇ = 1 对任意 b 都成立，无法从 N = 1 反推出唯一的 b。
N > 0：因为 a > 0 时，aᵇ 恒为正数，永远不会得到负数或 0，所以真数 N 必须 > 0。

👉 记忆口诀：底大零不为一，真数永远大于零。

① 指数式与对数式的"三角关系"

互化要点：底数 a 的位置不变（"底数不动"），指数 b 变对数 b，结果 N 变真数 N。记住这一句话就能随时互化。

② 经典实例对照表

③ 两个"恒等式"的直观理解

要点：这两个恒等式是化简对数表达式的最基本工具。看到 log_a 1 直接写 0，看到 log_a a 直接写 1。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）3⁴ = 81；（2）(1/2)^(−3) = 8；（3）log₃ 9 = 2；（4）lg 0.01 = −2。

💡 提示：底数不动，指数和对数互换位置。

答案与详解

（1）3⁴ = 81 ⟹ log₃ 81 = 4

（2）(1/2)^(−3) = 8 ⟹ log_(1/2) 8 = −3

（3）log₃ 9 = 2 ⟹ 3² = 9

（4）lg 0.01 = −2 ⟹ 10⁻² = 0.01

记住口诀：底数不动，指数即对数，结果即真数。

例 2

计算：(1) log₂ 16；(2) log₃ (1/27)；(3) log_5 1；(4) 2^(log₂ 5)。

💡 提示：把每个对数转化回指数式，看"底数的几次方等于真数"。

答案与详解

（1）log₂ 16

2 的几次方等于 16？2⁴ = 16，所以 log₂ 16 = 4

（2）log₃ (1/27)

3 的几次方等于 1/27？3⁻³ = 1/27，所以 log₃ (1/27) = −3

（3）log_5 1

由恒等式 log_a 1 = 0，直接得 0

（4）2^(log₂ 5)

由对数恒等式 a^(log_a N) = N，直接得 5

答案：4，−3，0，5。

例 3

求下列各式的定义域：
（1）y = log₂(x − 1)；（2）y = log_(x−1) (3 − x)。

💡 提示：对数的真数 > 0，底数 > 0 且 ≠ 1。

答案与详解

（1）y = log₂(x − 1)

真数 > 0：x − 1 > 0，得 x > 1。
定义域为 (1, +∞)。

（2）y = log_(x−1) (3 − x)

底数条件：x − 1 > 0 且 x − 1 ≠ 1，得 x > 1 且 x ≠ 2；
真数条件：3 − x > 0，得 x < 3。
取交集：1 < x < 2 或 2 < x < 3。
定义域为 (1, 2) ∪ (2, 3)。

求对数函数定义域，必须同时考虑底数和真数的条件。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忘记真数必须大于零

求 y = log₂(x² − 3x + 2) 的定义域。

错误做法：只写成 x² − 3x + 2 ≠ 0，即 x ≠ 1 且 x ≠ 2。

正确做法：真数必须 > 0（而不是 ≥ 0）：
x² − 3x + 2 > 0
(x−1)(x−2) > 0
x < 1 或 x > 2
定义域为 (−∞, 1) ∪ (2, +∞)。

📌 要点：真数 > 0，不是 ≥ 0；真数 = 0 时对数无意义。

易错点 2 · 底数含参时忘记讨论

求 y = log_a(x + 1) 中 a 的取值范围。

错误做法：直接写 a > 0。

正确做法：底数要求 a > 0 且 a ≠ 1。
如果题目给出具体的 a 值，也要养成先检查这两个条件的习惯。

易错点 3 · 混淆 log_a (M + N) 与 log_a M + log_a N

判断：log₂ (4 + 4) 与 log₂ 4 + log₂ 4 是否相等？

错误做法：认为 log₂ (4+4) = log₂ 4 + log₂ 4。

正确做法：
· log₂ (4 + 4) = log₂ 8 = 3；
· log₂ 4 + log₂ 4 = 2 + 2 = 4。
两者不相等。对数运算性质只对"积、商、幂"成立，对"和、差"不成立。

📌 口诀：对数拆积不拆和。

3对数的运算性质

教材概念

教材原文

设 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0，则：

① 积的对数：log_a (M · N) = log_a M + log_a N

② 商的对数：log_a (M / N) = log_a M − log_a N

③ 幂的对数：log_a (Mⁿ) = n · log_a M（n ∈ R）

④ 换底公式：log_a N = log_b N / log_b a（a, b > 0，a, b ≠ 1，N > 0）

⑤ 换底公式推论：log_a b · log_b a = 1；log_(aⁿ) (bᵐ) = (m/n) log_a b

概念解读

对数为什么能"降级"运算？

① 核心思想：把高一级运算降为低一级——对数的本质作用是降低运算级别：

真数的乘法 ⟹ 对数的加法
真数的除法 ⟹ 对数的减法
真数的乘方 ⟹ 对数的乘法
真数的开方 ⟹ 对数的除法

这正是对数在历史上被发明的动机——把复杂的乘除运算转化为简单的加减运算，在没有计算器的年代极大地简化了天文计算。

② 换底公式的用途——不同底数的对数不能直接比较或计算，换底公式让所有对数都能转化为同底（比如都换成以 10 或 e 为底），从而进行运算。

③ 记忆技巧——把性质 ①②③ 看成"真数中高一级的运算，搬到对数前就降一级"：

真数相乘 → 对数相加
真数相除 → 对数相减
真数的指数 → 提到对数前面乘

① 对数的"降级"作用

要点：把这张对照表记住，所有对数运算性质就都不会忘。注意方向是"真数→对数"降级，反向不成立（如 log M + log N 不能直接合并）。

② 换底公式：让不同底的对数可以比较

要点：换底公式把底数 a 换成任意的 b，让不同底的对数可以统一到同一底（通常用 10 或 e）进行比较和计算。考试中常用形式是 log_a b = lg b / lg a。

③ 对数恒等式与换底推论的应用

要点：这三个变形是对数运算中"化繁为简"的关键，遇到复杂表达式时优先考虑这几种结构。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

计算：(1) log₂ 8 + log₃ (1/9)；(2) log₅ 25 − log₅ 5；(3) lg 25 + lg 4。

💡 提示：先看能不能用对数运算性质合并，或者直接算每个对数的值。

答案与详解

（1）log₂ 8 + log₃ (1/9)

分别计算：
log₂ 8 = log₂ 2³ = 3
log₃ (1/9) = log₃ 3⁻² = −2
原式 = 3 + (−2) = 1

（2）log₅ 25 − log₅ 5

由商的对数：log₅ 25 − log₅ 5 = log₅ (25/5) = log₅ 5 = 1

（3）lg 25 + lg 4

由积的对数：lg 25 + lg 4 = lg (25 × 4) = lg 100 = 2

答案：1，1，2。

例 2

计算：log₃ 27 + 2 log₃ 2 − log₃ 4。

💡 提示：先把系数移到真数的指数位置，再用积和商的运算性质合并。

答案与详解

第一步：把系数提到真数的指数

2 log₃ 2 = log₃ 2² = log₃ 4

第二步：合并

log₃ 27 + log₃ 4 − log₃ 4 = log₃ 27

第三步：计算

log₃ 27 = log₃ 3³ = 3

答案：3。

例 3

用换底公式计算：log₂ 3 · log₃ 4 · log₄ 5 · log₅ 8。

💡 提示：全部换成同底（如以 2 为底或 lg）。

答案与详解

全部换成以 2 为底

log₃ 4 = log₂ 4 / log₂ 3 = 2 / log₂ 3
log₄ 5 = log₂ 5 / log₂ 4 = log₂ 5 / 2
log₅ 8 = log₂ 8 / log₂ 5 = 3 / log₂ 5

代入原式

log₂ 3 · (2 / log₂ 3) · (log₂ 5 / 2) · (3 / log₂ 5)

约分

log₂ 3 与 1/log₂ 3 约掉；2 与 1/2 约掉；log₂ 5 与 1/log₂ 5 约掉。
剩下：1 × 1 × 1 × 3 = 3

答案：3。

例 4

已知 log₂ 3 = a，用 a 表示 log₃ 8。

💡 提示：log₃ 8 = log₃ 2³ = 3 log₃ 2，而 log₃ 2 与 log₂ 3 互为倒数。

答案与详解

第一步：用换底公式或倒数关系

log₃ 2 = 1 / log₂ 3 = 1/a

第二步：计算 log₃ 8

log₃ 8 = log₃ 2³ = 3 log₃ 2 = 3 · (1/a) = 3/a

答案：log₃ 8 = 3/a。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 对数的运算性质用错方向

判断：log₂ (4 + 4) = log₂ 4 + log₂ 4 是否成立？

错误做法：认为 log 内部是加法也能拆开。

正确做法：
· log₂ (4 + 4) = log₂ 8 = 3；
· log₂ 4 + log₂ 4 = 2 + 2 = 4。
两者不相等。对数运算性质只对"积、商、幂"成立，对"和、差"不成立。

📌 口诀：对数拆积不拆和。

易错点 2 · 对数性质中的真数条件

判断：log₂ ((−2) · (−3)) 是否等于 log₂ (−2) + log₂ (−3)？

错误做法：直接写成 log₂ (−2) + log₂ (−3)，然后用积的对数合并。

正确做法：
· log₂ ((−2)·(−3)) = log₂ 6，这个式子成立（真数 6 > 0）；
· 但 log₂ (−2) 和 log₂ (−3) 本身无意义（真数为负），所以不能拆开。
使用运算性质时，必须先确认拆开后的每一项都有意义。

📌 要点：对数性质的方向是"真数乘积 → 对数相加"，反过来"对数相加 → 真数乘积"时，每一项的真数都必须 > 0。

易错点 3 · 换底公式方向用反

计算：log₃ 4 · log₄ 3。

错误做法：直接用换底公式 log₃ 4 = log₄ 4 / log₄ 3 后，计算出错。

正确做法：
由换底公式的推论：log_a b · log_b a = 1。
本题中 a = 3, b = 4，直接得 log₃ 4 · log₄ 3 = 1。

📌 要点：看到两个对数"底数和真数恰好互换"，答案就是 1，不用再算。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

幂、指数与对数是上海高考数学中每年必考的内容。单独考查多以小题形式出现，但作为工具函数，在对数函数、导数、数列、不等式等章节中反复使用。主要考查位置：

填空题 1—6 题（4分）：指数、对数的化简求值
填空题 7—12 题（5分）：对数函数的定义域、值域、比较大小
解答题：常与函数、导数、数列等综合出现

近五年上海卷中，指数对数运算是小题的常客。2023年第5题、2024年第10题、2025年第5题都涉及指数对数运算或对数函数性质。掌握好本章，是后续函数学习的基础。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 指数对数的化简求值

上海卷 · 填空第 4—5 题（4分）

计算：log₂ 6 − log₂ 3 + 2^(log₂ 5) = ______。

答案与详解

第一部分：商的对数

log₂ 6 − log₂ 3 = log₂ (6/3) = log₂ 2 = 1

第二部分：对数恒等式

2^(log₂ 5) = 5（由 a^(log_a N) = N）

合并

1 + 5 = 6

答案：6。

题型：填空 4 分｜考点：对数的运算 + 对数恒等式｜难度：★★☆☆☆

真题 2 · 对数函数的定义域

上海卷 · 填空第 5—6 题（4分）

函数 f(x) = lg(x² − 4) 的定义域为 ______。

答案与详解

真数必须大于零

x² − 4 > 0

解一元二次不等式

(x+2)(x−2) > 0
开口向上，大于取两边：x < −2 或 x > 2

答案：(−∞, −2) ∪ (2, +∞)。

题型：填空 4 分｜考点：对数函数定义域｜难度：★☆☆☆☆

真题 3 · 换底公式的应用

上海卷 · 填空第 6—7 题（5分）

已知 log₂ 3 = a，则 log₃ 12 = ______（用 a 表示）。

答案与详解

第一步：用换底公式

log₃ 12 = log₂ 12 / log₂ 3 = log₂ 12 / a

第二步：化简 log₂ 12

log₂ 12 = log₂ (4 × 3) = log₂ 4 + log₂ 3 = 2 + a

第三步：合并

log₃ 12 = (2 + a) / a = 1 + 2/a

答案：log₃ 12 = (2 + a)/a = 1 + 2/a。

题型：填空 5 分｜考点：换底公式 + 积的对数｜难度：★★★☆☆

真题 4 · 指数对数比较大小

上海卷 · 填空/选择（4—5分）

比较大小：a = log₂ 3，b = log₃ 2，c = 2^0.5，则 a, b, c 的大小关系是 ______。

答案与详解

逐个估值

· a = log₂ 3：因为 log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2，所以 1 < a < 2；
· b = log₃ 2：因为 log₃ 1 = 0, log₃ 3 = 1，所以 0 < b < 1；
· c = 2^0.5 = √2 ≈ 1.414，所以 1 < c < 2。

比较 a 和 c

a = log₂ 3，c = log₂ 2^0.5 = log₂ √2。
因为 3 > √2，且 y = log₂ x 单调递增，所以 a > c。

综合比较

b < 1 < c < a

答案：b < c < a。

题型：填空/选择 4—5 分｜考点：指数对数比较大小｜难度：★★★☆☆

本章总结（复习清单）

指数幂扩展：正整数 → 零 → 负整数 → 分数；每一步都为"保住运算性质"。
分数指数幂：a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)，底数 a > 0。
ⁿ√(aⁿ) 化简：n 为偶数时等于 |a|，n 为奇数时等于 a。
指数与对数互化：aᵇ = N ⟺ b = log_a N，底数不动。
对数限制：a > 0, a ≠ 1, N > 0。
对数恒等式：log_a 1 = 0；log_a a = 1；a^(log_a N) = N。
对数运算性质：积 → 加；商 → 减；幂 → 乘；换底公式 log_a N = log_b N / log_b a。
本章最高频陷阱：忘记真数 > 0 的条件；对数拆积不拆和。