第2章等式与不等式

1等式与不等式的性质

教材概念

教材原文

等式的性质：① a = b ⟺ b = a（对称性）；② a = b, b = c ⟹ a = c（传递性）；③ a = b ⟹ a ± c = b ± c；④ a = b ⟹ ac = bc（c ≠ 0 时还可逆推）。

不等式的基本性质：① a > b ⟺ b < a（对称性）；② a > b, b > c ⟹ a > c（传递性）；③ a > b ⟹ a + c > b + c（可加性）；④ a > b, c > 0 ⟹ ac > bc；a > b, c < 0 ⟹ ac < bc（可乘性）。

两个实数比较大小的依据：a − b > 0 ⟺ a > b；a − b = 0 ⟺ a = b；a − b < 0 ⟺ a < b。

概念解读

核心要点

① 等式与不等式的最大区别——等式两边可以随意乘以一个数（只要不为零），不等号方向不变；但不等式两边乘以一个数时，正数不变方向，负数必须改变方向。这是整个不等式体系中最关键的一条规则。

② 比较大小的本质是作差——判断 a 和 b 谁大谁小，等价于判断 a − b 的符号。这是所有不等式证明和比较问题的出发点。

③ 传递性是"桥梁"——a > b, b > c ⟹ a > c，这个性质在放缩法中反复使用。注意：传递性不能"反向"使用，a > b, c > b 不能推出 a 和 c 的大小关系。

👉 口诀：乘正不变向，乘负必变向。这是本章最容易出错的地方。

① 作差法比较大小：本质是看"差"的正负

要点：比较大小的唯一标准工具就是作差。具体做法：作差 → 因式分解（或配方）→ 判断符号 → 得出结论。这个流程适用于所有比较问题。

② 乘负数为什么必须变向？

要点：数轴上，左边的数总是小于右边的数。乘以 −1 相当于把整个数轴"翻面"，原来的左右关系完全颠倒。所以乘以负数必须反转不等号方向。

③ 传递性的"桥梁"作用与"不可反向"

要点：传递性只有在"中间量同时大于一个、小于另一个"时才能用。如果两个不等式只是共享同一个"小"的一边，则无法推出其他结论。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

比较 (x + 2)(x + 3) 与 (x + 1)(x + 4) 的大小。

💡 提示：两边展开后作差，看差的符号。

答案与详解

作差法

(x + 2)(x + 3) − (x + 1)(x + 4)
= (x² + 5x + 6) − (x² + 5x + 4)
= 2 > 0

所以 (x + 2)(x + 3) > (x + 1)(x + 4)，对任意实数 x 恒成立。

例 2

已知 a > b > 0，c < 0。判断下列不等式的真假：
（1）ac > bc；（2）a + c > b + c；（3）a/c > b/c。

💡 提示：c < 0 时，乘以或除以 c 不等号方向要改变。

答案与详解

已知 a > b，c < 0。

（1）ac > bc：a > b 两边乘 c（c < 0），不等号方向反转，得 ac < bc。所以假。

（2）a + c > b + c：a > b 两边加 c，不等号方向不变，得 a + c > b + c。所以真。

（3）a/c > b/c：a > b 两边除以 c（c < 0），不等号方向反转，得 a/c < b/c。所以假。

答案：（1）假，（2）真，（3）假。

例 3

已知 −2 < a < 3，1 < b < 4，求 a + b 和 a − b 的取值范围。

💡 提示：同向不等式可以相加；求差时，先求 −b 的范围再相加。

答案与详解

求 a + b 的范围（同向相加）

−2 < a < 3
1 < b < 4
两式相加：−1 < a + b < 7

求 a − b 的范围（先求 −b 的范围）

由 1 < b < 4，得 −4 < −b < −1。
再与 a 的范围同向相加：
−2 < a < 3
−4 < −b < −1
相加得：−6 < a − b < 2

a + b ∈ (−1, 7)，a − b ∈ (−6, 2)。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 乘负数不变向

由 a > b 能否推出 −2a > −2b？

错误做法：认为两边同乘 −2 后不等号方向不变。

正确做法：a > b 两边同乘 −2（负数），不等号方向必须反转，得 −2a < −2b。

📌 口诀：不等式两边乘或除负数，不等号必须变向。

易错点 2 · 误用"同向可乘"

已知 a > b, c > d，能否推出 ac > bd？

错误做法：认为同向不等式可以相乘。

正确做法：同向不等式不能直接相乘。反例：a = 1, b = −2, c = −1, d = −3。a > b，c > d，但 ac = −1，bd = 6，ac < bd。

📌 只有当所有量都为正数时，同向不等式才能相乘。

易错点 3 · 求范围时"分别取极值"致错

已知 −1 < a < 2，1 < b < 3，求 a/b 的取值范围。

错误做法：分别取极值——取 a 最大 2、b 最小 1，得 a/b 最大接近 2；取 a 最小 −1、b 最大 3，得 a/b 最小接近 −1/3。于是错误地得出 −1/3 < a/b < 2。

正确做法：分 a 的符号讨论。
· 当 a ≥ 0 时：0 ≤ a < 2，且 1/3 < 1/b < 1，同向相乘得 0 ≤ a/b < 2；
· 当 a < 0 时：设 a = −t（0 < t < 1），则 a/b = −t/b。由 1/3 < 1/b < 1 得 t/b ∈ (0, 1)，所以 a/b ∈ (−1, 0)。
综合得 a/b ∈ (−1, 2)。

📌 要点："分别取极值"只对"加、减"类型的运算有效，对"乘、除"（尤其是涉及符号变化）会出错。正确做法是先确定各因子范围，再同向相乘（除法先化为乘倒数）。

2不等式的求解

教材概念

教材原文

一元二次不等式 ax² + bx + c > 0（a > 0）的解法：① 计算判别式 Δ = b² − 4ac；② 求对应方程 ax² + bx + c = 0 的根；③ 根据二次函数图像与 x 轴的交点情况写出解集。

Δ > 0 时，两根之外取两边（> 0）或两根之间取中间（< 0）；Δ = 0 时，除顶点外恒正（> 0）或恒非负；Δ < 0 时，恒正（> 0）或无解（< 0）。

分式不等式：f(x)/g(x) > 0 ⟺ f(x)·g(x) > 0；f(x)/g(x) ≥ 0 ⟺ f(x)·g(x) ≥ 0 且 g(x) ≠ 0。

绝对值不等式：|x| < a ⟺ −a < x < a（a > 0）；|x| > a ⟺ x < −a 或 x > a（a > 0）。

概念解读

用"图像"来理解

① 一元二次不等式 = 二次函数看图像——解 ax² + bx + c > 0，就是问"抛物线在 x 轴上方时，x 在什么范围"。开口向上（a > 0）时：Δ > 0 两根之外；Δ = 0 除顶点外；Δ < 0 全体实数。

② 分式不等式 → 整式不等式——分式不等式不能直接去分母（因为分母符号未知），标准做法是移项、通分、化为标准形式，再利用"两式相除的符号 = 两式相乘的符号"转化为整式不等式。

③ 绝对值不等式 = 距离——|x − a| 表示 x 到 a 的距离。|x − a| < b 意味着 x 到 a 的距离小于 b，即 a − b < x < a + b。几何意义比代数方法更直观。

① 一元二次不等式：看抛物线在 x 轴上方还是下方

要点：a > 0 时开口向上，抛物线在 x 轴上方的部分是"两根之外"（x < x₁ 或 x > x₂），下方的部分是"两根之间"（x₁ < x < x₂）。口诀：大于取两边，小于取中间。

② 分式不等式的转化

要点：分式不等式标准做法是"移项 → 通分 → 转化为整式"。注意：如果分子分母中有公因式，约分前先看公因式是否为零，否则会丢失解或产生增根。

③ 绝对值不等式的几何意义：距离

要点：|x − a| 就是数轴上 x 到 a 的距离。|x − a| < b 意味着 x 到 a 的距离小于 b，所以 x 在 (a−b, a+b) 之间。用几何理解比死记公式更可靠。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

解不等式：x² − 5x + 6 > 0。

💡 提示：先因式分解，再看抛物线在 x 轴上方的部分。

答案与详解

第一步：因式分解

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

第二步：判断两根

对应方程 (x−2)(x−3) = 0 的根为 x = 2 和 x = 3。

第三步：开口向上，大于取两边

抛物线开口向上，要求 > 0，取两根之外。

解集：x < 2 或 x > 3，即 (−∞, 2) ∪ (3, +∞)。

例 2

解不等式：(x − 1)/(x + 2) ≤ 0。

💡 提示：分式不等式转化为整式，注意分母不为零。

答案与详解

转化为整式不等式

(x−1)/(x+2) ≤ 0 ⟺ (x−1)(x+2) ≤ 0 且 x + 2 ≠ 0

解整式不等式

(x−1)(x+2) ≤ 0 ⟹ −2 ≤ x ≤ 1

排除分母为0的点

x ≠ −2

解集：−2 < x ≤ 1，即 (−2, 1]。

例 3

解不等式：|2x − 1| < 3。

💡 提示：用距离来理解：2x − 1 到 0 的距离小于 3。

答案与详解

方法一：公式法

|2x − 1| < 3 ⟺ −3 < 2x − 1 < 3

解中间的不等式

−3 < 2x − 1 < 3
各边加 1：−2 < 2x < 4
各边除以 2：−1 < x < 2

解集：−1 < x < 2，即 (−1, 2)。

例 4

已知不等式 ax² + bx + c > 0 的解集为 (−1, 2)，求 a 的符号及 b/a, c/a 的值。

💡 提示：解集为两根之间，说明抛物线开口向下。

答案与详解

第一步：判断开口方向

解集为 (−1, 2)，即两根之间，说明抛物线开口向下，所以 a < 0。

第二步：利用根与系数关系

方程 ax² + bx + c = 0 的两根为 x₁ = −1, x₂ = 2。
由韦达定理：x₁ + x₂ = −b/a ⟹ 1 = −b/a ⟹ b/a = −1；
x₁·x₂ = c/a ⟹ −2 = c/a ⟹ c/a = −2。

a < 0，b/a = −1，c/a = −2。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忘记讨论二次项系数为0的情况

解关于 x 的不等式：ax² − (a + 1)x + 1 > 0。

错误做法：直接按一元二次不等式处理，因式分解得 (ax − 1)(x − 1) > 0，然后比较 1/a 和 1 的大小。

正确做法：先分 a = 0 和 a ≠ 0 两类讨论。
· a = 0 时：原不等式化为 −x + 1 > 0，解集为 x < 1；
· a ≠ 0 时：因式分解为 (ax − 1)(x − 1) > 0，再根据 a > 0, a < 0, 1/a 与 1 的大小关系分类讨论。

📌 口诀：含参二次不等式，先讨论 a = 0，再讨论 Δ，最后讨论根的大小。

易错点 2 · 分式不等式直接去分母

解不等式：(x − 1)/(x + 2) > 1。

错误做法：直接两边乘以 (x + 2)，得 x − 1 > x + 2，即 −1 > 2，无解。

正确做法：
移项：(x−1)/(x+2) − 1 > 0
通分：[(x−1) − (x+2)]/(x+2) > 0，即 −3/(x+2) > 0
转化为整式：−3(x+2) > 0 且 x + 2 ≠ 0
解得 x < −2。

📌 关键：分式不等式必须化为"一边为0"的标准形式后再转化，绝不能直接去分母。

易错点 3 · 绝对值不等式直接去绝对值

解不等式：|x − 1| > 2x。

错误做法：直接写成 x − 1 > 2x 或 x − 1 < −2x，然后分别求解。

正确做法：
|x − 1| > 2x 需要分情况讨论：
· 当 x − 1 ≥ 0（即 x ≥ 1）时：x − 1 > 2x ⟹ −1 > x ⟹ x < −1，与 x ≥ 1 矛盾，无解；
· 当 x − 1 < 0（即 x < 1）时：−(x − 1) > 2x ⟹ −x + 1 > 2x ⟹ 1 > 3x ⟹ x < 1/3。
综上：x < 1/3。

📌 关键：绝对值不等式中有其他含 x 的项时，必须分情况讨论绝对值内表达式的符号。

3基本不等式及其应用

教材概念

教材原文

对于任意正实数 a, b，有 √(ab) ≤ (a + b)/2，当且仅当 a = b 时等号成立。其中 √(ab) 叫做 a, b 的几何平均数，(a + b)/2 叫做 a, b 的算术平均数。这个不等式称为基本不等式（均值不等式）。

常用变形：a + b ≥ 2√(ab)；ab ≤ ((a + b)/2)²；a/b + b/a ≥ 2（a, b 同号）。

概念解读

使用条件"一正、二定、三相等"

① 一正——所有涉及的数必须是正数。如果题目中变量可能为负，必须先讨论或转化。

② 二定——求和的最小值时，乘积必须是定值；求积的最大值时，和必须是定值。如果"和"与"积"都不是定值，基本不等式不能直接使用。

③ 三相等——等号成立的条件必须能取到，即存在 a = b 的取值。如果等号取不到，基本不等式给出的"最值"是"最小值取不到"的假最值。

👉 口诀：一正二定三相等，缺一不可。这是基本不等式所有错误的根源。

常用技巧：凑项（加减常数使乘积为定值）、凑系数（乘除常数使和为定值）、"1"的代换（利用已知条件中的 1 进行替换）。

① 几何意义：半圆中的算术平均与几何平均

要点：半圆直径 AB 上取点 P，使 AP = a，PB = b。过 P 作 AB 的垂线交半圆于 C，则 PC = √(ab)（几何平均）；圆心 O 到 A 或 B 的距离即半径 = (a+b)/2（算术平均）。半径 ≥ 垂线 PC，即 (a+b)/2 ≥ √(ab)，等号当 a = b（P 与圆心 O 重合）时成立。

② "一正、二定、三相等"三个条件缺一不可

要点：三个条件中任何一个不满足，基本不等式都不能直接使用。最常见的错误是忽略"三相等"，导致求出的是"取不到的最小值"。

③ 凑项技巧：x + 1/x 的类型

要点：x + a/x（x > 0, a > 0）型的最值问题是最基本的基本不等式模型。最小值 2√a，当 x = √a 时取得。如果 x 的范围限制取不到 √a，则需用函数单调性求最值。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

已知 x > 0，求 x + 4/x 的最小值，并指出等号成立的条件。

💡 提示：检查"一正、二定、三相等"三条件。

答案与详解

检查三条件

① x > 0, 4/x > 0（一正 ✓）
② x · (4/x) = 4 为定值（二定 ✓）
③ 等号成立：x = 4/x ⟹ x² = 4 ⟹ x = 2（x > 0）

使用基本不等式

x + 4/x ≥ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4

最小值为 4，当且仅当 x = 2 时取得。

例 2

已知 x > 1，求 x + 1/(x − 1) 的最小值。

💡 提示：凑项，把 x 写成 (x − 1) + 1。

答案与详解

凑项

x + 1/(x−1) = (x − 1) + 1/(x−1) + 1

对前两项使用基本不等式

x > 1 ⟹ x − 1 > 0，所以
(x−1) + 1/(x−1) ≥ 2√((x−1) · 1/(x−1)) = 2

等号成立条件

x − 1 = 1/(x−1) ⟹ (x−1)² = 1 ⟹ x − 1 = 1 ⟹ x = 2

最小值为 2 + 1 = 3，当且仅当 x = 2 时取得。

例 3

已知 a > 0, b > 0，且 a + b = 1，求 1/a + 1/b 的最小值。

💡 提示：利用"1"的代换，把 1 写成 a + b。

答案与详解

"1"的代换

1/a + 1/b = (1/a + 1/b)·1 = (1/a + 1/b)(a + b)　（因为 a + b = 1）

展开

= 1 + b/a + a/b + 1 = 2 + b/a + a/b

使用基本不等式

a > 0, b > 0 ⟹ b/a > 0, a/b > 0
b/a + a/b ≥ 2√(b/a · a/b) = 2

等号成立条件

b/a = a/b ⟹ a² = b² ⟹ a = b（因为 a, b > 0）
结合 a + b = 1，得 a = b = 1/2。

最小值为 2 + 2 = 4，当且仅当 a = b = 1/2 时取得。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忽略"一正"条件

求函数 y = x + 1/x 的值域（x ∈ R, x ≠ 0）。

错误做法：直接由基本不等式得 y ≥ 2。

正确做法：分情况讨论。
· 当 x > 0 时，x + 1/x ≥ 2，等号在 x = 1 时成立；
· 当 x < 0 时，−x > 0，−1/x > 0，由基本不等式：
(−x) + (−1/x) ≥ 2 ⟹ x + 1/x ≤ −2，等号在 x = −1 时成立。
所以值域为 (−∞, −2] ∪ [2, +∞)。

📌 口诀：变量为负时，先提取负号转化为正数再使用。

易错点 2 · 忽略凑项后的定义域

已知 x > 2，求 y = x + 4/(x − 2) 的最小值。

错误做法：不凑项，直接写成 x + 4/(x−2) ≥ 2√(4x/(x−2))，试图直接套用基本不等式。

正确做法：
凑项：x + 4/(x−2) = (x − 2) + 4/(x−2) + 2
令 t = x − 2 > 0，则 y = t + 4/t + 2。
由基本不等式：t + 4/t ≥ 2√4 = 4，等号在 t = 2 即 x = 4 时成立。
所以最小值 = 4 + 2 = 6，当 x = 4 时取得。

📌 关键：凑项后必须验证等号成立时 x 是否在定义域内。

易错点 3 · 等号取不到（"三相等"不满足）

求函数 f(x) = x + 1/x 在区间 [2, 3] 上的最小值。

错误做法：用基本不等式得 x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2，所以最小值是 2。

正确做法：
· 等号成立条件是 x = 1/x，即 x = 1；
· 但 1 ∉ [2, 3]，等号取不到，所以 2 不是该区间上的最小值；
· 在 [2, 3] 上，f(x) = x + 1/x 单调递增（导数 f'(x) = 1 − 1/x² > 0 当 x > 1），
所以最小值是 f(2) = 2 + 1/2 = 5/2。

📌 要点：使用基本不等式求最值时，必须验证等号能否取到。取不到时，要用函数单调性求最值。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

不等式是上海高考数学的核心工具。单独考查的频率不算高，但几乎每一道题都会用到不等式的性质或方法。具体来说：

填空题（4—5分）：基本不等式求最值、一元二次不等式解集、不等式性质判断
选择题（4—5分）：不等式恒成立问题、充分条件与不等式结合
解答题：函数导数、解析几何、数列中大量使用不等式工具

近五年上海卷中，不等式的性质在2020、2022、2024、2026年均考查，基本不等式在2025年以填空题形式出现。不等式不是"考不考"的问题，而是"怎么考"的问题——它渗透在每一道题里。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 基本不等式求最值

上海卷 · 填空第 7—8 题（5分）

已知 x > 0, y > 0，且 x + 4y = 1，求 xy 的最大值。

答案与详解

使用基本不等式

x > 0, 4y > 0 ⟹ x + 4y ≥ 2√(x · 4y) = 4√(xy)

代入已知条件

1 = x + 4y ≥ 4√(xy) ⟹ √(xy) ≤ 1/4 ⟹ xy ≤ 1/16

等号成立条件

x = 4y 且 x + 4y = 1 ⟹ 8y = 1 ⟹ y = 1/8, x = 1/2

xy 的最大值为 1/16，当 x = 1/2, y = 1/8 时取得。

题型：填空 5 分｜考点：基本不等式（积为定值求和最小，和为定值求积最大）｜难度：★★☆☆☆

真题 2 · 不等式性质判断恒成立

上海卷 · 填空/选择（4—5分）

若 a > b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A. a² > b²　　B. ac² > bc²　　C. a − c > b − c　　D. 1/a < 1/b

答案与详解

逐一检验：

A. a² > b²：反例 a = 1, b = −2。a > b 但 a² = 1 < 4 = b²。✗

B. ac² > bc²：反例 c = 0。ac² = bc² = 0，不是严格大于。✗

C. a − c > b − c：a > b 两边同减 c，不等号方向不变。✓

D. 1/a < 1/b：反例 a = 1, b = −2。1/a = 1, 1/b = −1/2，1 > −1/2。✗

答案：C。

题型：选择/填空 4—5 分｜考点：不等式性质（可加性）｜难度：★★☆☆☆

真题 3 · 一元二次不等式与集合运算

上海卷 · 填空第 1—2 题（4分）

已知集合 A = {x | x² − 3x − 4 ≤ 0}，B = {x | x > 0}，则 A ∩ B = ______。

答案与详解

解一元二次不等式求 A

x² − 3x − 4 = (x−4)(x+1) ≤ 0
开口向上，小于取中间：−1 ≤ x ≤ 4
所以 A = [−1, 4]。

求交集

B = (0, +∞)
A ∩ B = [−1, 4] ∩ (0, +∞) = (0, 4]

答案：(0, 4]。

题型：填空 4 分｜考点：一元二次不等式 + 集合运算｜难度：★☆☆☆☆

真题 4 · 不等式与充分条件结合

上海卷 · 填空/选择（4—5分）

设 a ∈ R，则"a > 1"是"1/a < 1"的（　　）
A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件

答案与详解

充分性：a > 1 ⟹ 1/a < 1？

若 a > 1，则 0 < 1/a < 1，所以 1/a < 1 成立。✓

必要性：1/a < 1 ⟹ a > 1？

1/a < 1 ⟺ 1/a − 1 < 0 ⟺ (1−a)/a < 0 ⟺ a(a−1) > 0 ⟺ a < 0 或 a > 1。
反例：a = −1，满足 1/a = −1 < 1，但 a = −1 不 > 1。✗

答案：A（充分不必要条件）。

题型：填空/选择 4—5 分｜考点：分式不等式 + 充分必要条件｜难度：★★★☆☆

本章总结（复习清单）

等式与不等式性质：作差比较法；乘负数必须变向；同向不等式只能相加，不能相乘。
一元二次不等式：图像法，大于取两边，小于取中间；含参时讨论 a = 0 和 Δ。
分式不等式：移项通分转化为整式，不能直接去分母。
绝对值不等式：|x| < a ⟺ −a < x < a；|x| > a ⟺ x < −a 或 x > a。
基本不等式：一正二定三相等；凑项、凑系数、"1"的代换。
本章最高频陷阱：基本不等式忽略"三相等"条件，求出的最小值取不到。