第1章集合与逻辑 · 精讲精练

1集合及其表示法

教材概念

教材原文

把一些能够确定的、彼此不同的对象看成一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。组成集合的各个对象叫做这个集合的元素。

如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a ∈ A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a ∉ A。

概念解读

拆解三要素

① "确定的"——给定集合和任意一个对象，必须能明确判断该对象是否属于这个集合，不能模棱两可。这是集合的确定性。

② "彼此不同的"——同一个对象在集合中只能出现一次，不允许重复。这是集合的互异性。

③ "整体"——集合是作为一个整体来研究的，里面的元素不分先后顺序。这是集合的无序性。

👉 这三条通常被称为集合的"三性"：确定性、互异性、无序性。后面做题时的许多坑，都藏在这三个字里。

① 确定性：能不能判断"在不在"？

要点：判断一个描述能否构成集合，就看它是否满足"确定性"。凡是带"比较级"的词（高、矮、胖、瘦、大、小、多、少）——如果没有给出明确标准——都不能构成集合。

② 互异性：同一个元素只算一次

{ 1 1 2 } → { 1 2 }

要点：红色闪烁的那个 "1" 会被"消掉"。所以写集合时，{1, 1, 2} 与 {1, 2} 是同一个集合。反过来，如果题目中出现 {a, a²}，就必须先排除 a = a² 的情况。

③ 无序性：元素不分先后

{ 1 2 3 } = { 3 2 1 }

要点：判断两个集合是否相等，只需要看它们元素是否完全相同，与元素顺序无关。所以 {1, 2, 3} = {3, 2, 1}。

④ 两种表示法：列举法 vs 描述法

要点：描述法的竖线"|"前面必须写清代表元素（是 x 还是 y 还是点 (x,y)）。这是最容易丢分的地方。例如 {x | y = x²} 和 {y | y = x²} 是两个完全不同的集合。

⑤ 常用数集速记

典型习题（先做，再看答案）

例 1

判断下列各组对象能否构成集合，并说明理由：
（1）某班所有"数学成绩好"的同学；
（2）方程 x² − 1 = 0 的所有实数根；
（3）我国所有著名的数学家。

💡 请先自己在纸上写出判断和理由，再点开下方查看答案。

答案与详解

关键思路

判断是否构成集合的唯一标准：确定性——能不能客观地判断任意一个对象在不在里面。

（1）不能。"数学成绩好"没有明确标准，60 分算不算好？80 分算不算？无法客观判断，违反确定性。

（2）能。方程 x² − 1 = 0 的实数根只有 x = 1 和 x = −1，标准明确，能判断任意实数是否在内。

（3）不能。"著名"是主观评价，没有客观标准，违反确定性。

综上：（2）能构成集合，（1）（3）不能。

例 2

用适当的方法表示下列集合：
（1）小于 10 的所有正偶数组成的集合；
（2）不等式 2x − 3 > 1 的所有实数解组成的集合；
（3）所有被 3 整除的整数组成的集合。

💡 思考：元素少且有规律用列举法，元素无穷多用描述法。

答案与详解

（1）元素少且有限，用列举法：

A = {2, 4, 6, 8}

（2）解不等式：2x − 3 > 1 ⟹ 2x > 4 ⟹ x > 2。元素无穷，用描述法：

B = {x | x > 2, x ∈ R}　（也可写成 B = {x | x > 2}）

（3）能被 3 整除的整数可写成 3k（k 为整数）：

C = {x | x = 3k, k ∈ Z}　（也可写成 C = {n ∈ Z | n 能被 3 整除}）

注意：描述法中"|"前面必须写清代表元素，后面必须写清条件。

例 3

已知集合 A = {a + 2, (a + 1)², a² + 3a + 3}，若 1 ∈ A，求实数 a 的值。

💡 提示：1 ∈ A 意味着三个元素中至少有一个等于 1，需分类讨论。

答案与详解

因为 1 ∈ A，所以三个元素中至少有一个等于 1，分三种情况讨论：

情形①：a + 2 = 1

解得 a = −1。此时 A = {1, 0, 1}，其中 1 出现两次，违反互异性，舍去。

情形②：(a + 1)² = 1

得 a + 1 = 1 或 a + 1 = −1，即 a = 0 或 a = −2。
当 a = 0 时，A = {2, 1, 3}，三个元素互不相同，符合要求。
当 a = −2 时，A = {0, 1, 1}，出现两个 1，违反互异性，舍去。

情形③：a² + 3a + 3 = 1

a² + 3a + 2 = 0，即 (a+1)(a+2) = 0，得 a = −1 或 a = −2。
a = −1 时 A = {1, 0, 1}，重复，舍去；a = −2 时 A = {0, 1, 1}，重复，舍去。

综上，a = 0。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忽视互异性

若集合 {1, a, a²} 中只有一个 1，求 a 的取值。

错误做法：由 a = 1 或 a² = 1，得 a = 1 或 a = −1。

正确做法：
· 若 a = 1，集合变为 {1, 1, 1}，只含一个元素，与"含 3 个元素"矛盾，舍去；
· 若 a² = 1 且 a ≠ 1，则 a = −1，此时集合为 {1, −1, 1}，出现两个 1，舍去；
· 若 a² ≠ 1 且 a ≠ 1，即 a ≠ ±1，则集合天然只含一个 1。
故 a ≠ ±1。

📌 口诀：任何涉及字母元素集合的题，求出参数后必须代回检验互异性。

易错点 2 · 描述法中代表元素写错

判断：集合 M = {x | y = x² + 1} 与集合 N = {y | y = x² + 1} 是否相同？

错误做法：认为两个集合都表示"抛物线上的点"，所以相同。

正确做法：
· M 的代表元素是 x，所以 M = {x | x ∈ R} = R（全体实数）；
· N 的代表元素是 y，且 y = x² + 1 ≥ 1，所以 N = {y | y ≥ 1}；
· 两者完全不同：M = R，N = [1, +∞)。

易错点 3 · 含参方程解集忘记讨论

已知集合 A = {x | ax² + 2x + 1 = 0, a ∈ R} 中只有一个元素，求 a 的值。

错误做法：只考虑一元二次方程的情形，由 Δ = 4 − 4a = 0 得 a = 1。

正确做法：分两种情形——
· a = 0 时：方程变为 2x + 1 = 0，解得 x = −1/2，A = {−1/2}，只有一个元素，符合；
· a ≠ 0 时：方程是二次方程，只有一个解 ⟺ Δ = 0，即 4 − 4a = 0，得 a = 1。
综上：a = 0 或 a = 1。

📌 口诀：看到 ax² + bx + c = 0 且 a 含参，先讨论 a = 0。

2集合之间的关系

教材概念

教材原文

如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A）。

如果 A ⊆ B，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 A 叫做 B 的真子集，记作 A ⊊ B。

如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么 A 与 B 相等，记作 A = B。

不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅。

概念解读

用"范围"来理解

子集 A ⊆ B：A 里的"所有东西"B 里都有 —— A 被 B "包住"了，A 的范围不比 B 大。

真子集 A ⊊ B：A 被 B 包住，而且 B 里还有 A 没有的东西 —— A 严格比 B "小"。

A = B：互相包住，元素完全一样（顺序无关）。

空集 ∅ 的两条铁律：

∅ 是任何集合的子集：∅ ⊆ A 恒成立；
∅ 是任何非空集合的真子集：若 A ≠ ∅，则 ∅ ⊊ A。

👉 子集个数的结论：若集合 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2ⁿ 个，真子集有 2ⁿ − 1 个，非空真子集有 2ⁿ − 2 个。

① 子集：A 被 B 包住

② 真子集：B 里还有 A 没有的

③ 空集：一个元素都没有，藏在哪里？

要点：空集虽小，但它是所有集合的子集。所以在解含参子集问题时，千万不要忘记"空集"这一情形——这是本章最高频的失分点。

④ 子集个数公式的由来（以 {a,b} 为例）

典型习题（先做，再看答案）

例 1

写出集合 A = {a, b, c} 的所有子集，并指出其中哪些是真子集。

💡 提示：含 3 个元素的集合子集共有 2³ = 8 个。按元素个数分类枚举。

答案与详解

按元素个数分类枚举（不重不漏）

· 0 个元素：∅
· 1 个元素：{a}, {b}, {c}　（共 3 个）
· 2 个元素：{a,b}, {a,c}, {b,c}　（共 3 个）
· 3 个元素：{a,b,c}　（共 1 个）

所有子集：∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共 8 个。

真子集：除了 A 本身之外的 7 个（即去掉 {a,b,c}）。

子集 8 个，真子集 7 个。公式：2ⁿ 和 2ⁿ − 1，n = 3。

例 2

已知 A = {x | −1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | x < a}，若 A ⊆ B，求实数 a 的取值范围。

💡 提示：画数轴，让 A 段整体落在 B 段的左边部分。

答案与详解

数轴分析

A = [−1, 3]（左闭右闭）。
B = (−∞, a)（左开，右开）。
要使 A ⊆ B，须让 A 的最右端 3 都落在 B 内，即 a > 3。

注意：若 a = 3，则 B = (−∞, 3)，此时 3 ∉ B，而 3 ∈ A，违反 A ⊆ B，所以端点必须取开。

a 的取值范围是 a > 3，即 (3, +∞)。

例 3

已知 A = {x | x² − 3x + 2 = 0}，B = {x | ax − 2 = 0}，若 B ⊆ A，求实数 a 的值。

💡 提示：先解出 A，再分"B = ∅"和"B ≠ ∅"两种情况讨论。

答案与详解

第一步：确定集合 A

x² − 3x + 2 = 0 ⟹ (x−1)(x−2) = 0 ⟹ x = 1 或 x = 2。
所以 A = {1, 2}。

第二步：讨论 B（关键：别忘了 B = ∅）

情形①：B = ∅　即方程 ax − 2 = 0 无解。此时 a = 0。
验证：0 · x − 2 = 0 无解，故 B = ∅，满足 ∅ ⊆ A。✅

情形②：B ≠ ∅　即 a ≠ 0，此时 B = {2/a}。
要使 B ⊆ A，须 2/a ∈ A，即 2/a = 1 或 2/a = 2。
· 2/a = 1 ⟹ a = 2
· 2/a = 2 ⟹ a = 1

综上，a ∈ {0, 1, 2}。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 忘记讨论空集（最高频）

已知 A = {1, 2, 3}，B = {x | mx = 1}，若 B ⊆ A，求 m 的值。

错误做法：由 B ⊆ A，得 1/m ∈ {1, 2, 3}，所以 m = 1, 1/2, 1/3。

正确做法：
· 当 m = 0 时，mx = 1 无解，B = ∅ ⊆ A，符合；
· 当 m ≠ 0 时，B = {1/m}。要使 B ⊆ A，须 1/m ∈ {1, 2, 3}，得 m = 1, 1/2, 1/3。
综上：m ∈ {0, 1, 1/2, 1/3}。

📌 口诀：子集问题先看空，参数求解莫漏 0。

易错点 2 · 数轴上端点开闭弄错

已知 A = {x | 1 ≤ x ≤ 4}，B = {x | x > a}，若 A ⊆ B，求 a 的范围。

错误做法：直接判断 a ≤ 1。

正确做法：A ⊆ B 意味着 A 中最小的元素 1 也必须 > a，即 a < 1。
检验端点：若 a = 1，则 B = (1, +∞)，此时 1 ∉ B 但 1 ∈ A，不满足 A ⊆ B，故端点取开。

易错点 3 · 混淆"子集"与"真子集"计数

集合 {1, 2, 3, 4} 有多少个真子集？

错误做法：算成 2⁴ = 16 个。

正确做法：n = 4，子集共 2⁴ = 16 个，真子集 = 16 − 1 = 15 个（去掉集合本身）。
若问"非空真子集"，则再减去空集 = 14 个。

3集合的运算

教材概念

教材原文

由集合 A 和集合 B 中所有公共元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩ B，即 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。

由集合 A 和集合 B 中所有元素组成的集合（重复的只算一次），叫做 A 与 B 的并集，记作 A ∪ B，即 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。

设 U 是全集，A ⊆ U，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 ∁ᵤA，即 ∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。

概念解读

一句话记住三个运算

交集 A ∩ B——"既要又要"：既要属于 A，又要属于 B。取公共部分。

并集 A ∪ B——"或此或彼"：属于 A 或属于 B。取全部合起来。

补集 ∁ᵤA——"除了 A 剩下的"：在全集中，把 A 挖掉后剩下的部分。

常用运算律：

A ∩ A = A，A ∩ ∅ = ∅，A ∩ U = A
A ∪ A = A，A ∪ ∅ = A，A ∪ U = U
交换律：A ∩ B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A
∁ᵤ(∁ᵤA) = A

① 交集 A ∩ B：公共部分

② 并集 A ∪ B：两个圆全部

③ 补集 ∁ᵤA：全集里挖掉 A 剩下

④ 用数轴做集合运算（最实用！）

技巧：含不等式的集合运算，一律画数轴。空心圈 = 取不到（开），实心圈 = 取到（闭）。交集 = 两段重叠处；并集 = 两段合并处。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

已知 A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，求 A ∩ B，A ∪ B。

💡 提示：逐一比对元素，重复的算交集，全部合起来是并集。

答案与详解

A ∩ B：两个集合都有的元素是 3 和 4，所以

A ∩ B = {3, 4}

A ∪ B：把两个集合所有元素合并，重复的只写一次：

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

易错提醒：并集里不要重复写 3 和 4。

例 2

已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {1, 3, 5}，求 ∁ᵤA。

💡 提示：从 U 中划掉 A 里的元素，剩下的就是补集。

答案与详解

从 U 中划掉 A 里的 1、3、5，剩下 2、4、6：

∁ᵤA = {2, 4, 6}

易错提醒：补集必须在给定全集的范围内讨论，换一个全集结果就变了。

例 3

已知 A = {x | −1 < x < 3}，B = {x | x ≥ 2}，求 A ∩ B，A ∪ B。

💡 提示：画数轴，标出两端点，看清是开还是闭。

答案与详解

数轴分析

A = (−1, 3)　两端都是开
B = [2, +∞)　2 是闭
重叠部分：从 2 开始（含 2），到 3 结束（不含 3）

A ∩ B（重叠区）：

A ∩ B = {x | 2 ≤ x < 3} = [2, 3)

A ∪ B（合并区）：

A ∪ B = {x | x > −1} = (−1, +∞)

端点规则：交集取"更严的"，并集取"更宽的"。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 数轴端点开闭弄错

已知 A = {x | 1 ≤ x < 5}，B = {x | x > a}，若 A ∩ B = ∅，求 a 的取值范围。

错误做法：直接判断 a ≥ 5。

正确做法：A = [1, 5)。要 A ∩ B = ∅，B 段必须在 A 的右边（不重叠），即 a ≥ 5。
检验端点：若 a = 5，B = (5, +∞)，与 [1, 5) 完全没重叠，符合；
若 a = 4，B = (4, +∞)，与 [1, 5) 有重叠 (4, 5)，不符合。
故 a ≥ 5 正确。

易错点 2 · 忽视"B = ∅"导致漏解

已知 A = {x | 1 < x < 3}，B = {x | a < x < a+1}，若 A ∩ B = ∅，求 a 的取值范围。

正确做法：B 段长固定为 1，不空。要 A ∩ B = ∅，B 必须整段在 A 左侧或整段在 A 右侧：
· B 在 A 左侧：a + 1 ≤ 1，即 a ≤ 0；
· B 在 A 右侧：a ≥ 3。
综上 a ≤ 0 或 a ≥ 3。

📌 若题目改成 B = {x | a < x ≤ a+1}，解题方法不变，但要重新检查端点。

易错点 3 · 补集与"差集"混淆

已知 U = R，A = {x | x ≤ 2}，B = {x | x > 1}，求 ∁ᵤ(A ∩ B)。

错误做法：直接写成 ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB 或 ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB 混用。

正确做法：
先算 A ∩ B = {x | 1 < x ≤ 2}，再取补集：
∁ᵤ(A ∩ B) = {x | x ≤ 1 或 x > 2}。
也可用德摩根律验证：∁ᵤ(A ∩ B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB = {x > 2} ∪ {x ≤ 1}，一致。

4命题的形式及等价关系

教材概念

教材原文

可以判断真假的语句叫做命题。若命题为真，记作"真"；为假，记作"假"。

形如"如果 p，那么 q"的命题，记作 p ⇒ q，其中 p 叫做条件，q 叫做结论。

四种命题形式：

· 原命题：若 p，则 q　（p ⇒ q）

· 逆命题：若 q，则 p　（q ⇒ p）

· 否命题：若 ¬p，则 ¬q　（¬p ⇒ ¬q）

· 逆否命题：若 ¬q，则 ¬p　（¬q ⇒ ¬p）

概念解读

等价关系（本章核心）

原命题 ⟺ 逆否命题（同真同假）

逆命题 ⟺ 否命题（同真同假）

👉 这就是为什么"证明一个命题为真"可以转换为"证明其逆否命题为真"——这就是反证法的理论基础。

否命题 vs 命题的否定（易混！）：

否命题：既否定条件，也否定结论。形式为"若 ¬p，则 ¬q"。它和原命题不一定同真假。
命题的否定：只否定结论，不否定条件。原命题"若 p 则 q"的否定是"若 p，则 ¬q"。它与原命题必然一真一假。

① 四种命题的关系图

记忆图：对角线上的两个命题（原 ↔ 逆否、逆 ↔ 否）是等价的（同真同假）。

② 用实例看懂"否命题"和"命题的否定"的区别

关键区分：否命题"双否"（否条件否结论），命题的否定只"否结论"。原命题与命题的否定必然一真一假；原命题与否命题则不一定。

典型习题（先做，再看答案）

例 1

写出命题"若 x > 0，则 x² > 0"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

💡 提示：逆命题交换条件与结论；否命题同时否定两者；逆否命题是逆命题的否命题。

答案与详解

原命题：若 x > 0，则 x² > 0。（真）

逆命题：若 x² > 0，则 x > 0。

反例：x = −1，x² = 1 > 0，但 −1 不 > 0，所以逆命题为假。

否命题：若 x ≤ 0，则 x² ≤ 0。

反例：x = −1 ≤ 0，但 x² = 1 > 0，所以否命题为假。

逆否命题：若 x² ≤ 0，则 x ≤ 0。（真）

规律验证：原命题（真）⟺ 逆否命题（真）；逆命题（假）⟺ 否命题（假）。对角线上的两个命题真假一致。

例 2

写出命题"若 a = b，则 a² = b²"的否定，并判断真假。

💡 提示：命题的否定只否定结论，不否定条件。

答案与详解

原命题："若 a = b，则 a² = b²"。（真命题）

命题的否定："若 a = b，则 a² ≠ b²"。（假命题，因为 a = b 必然 a² = b²）

注意区分：这道题的否命题是"若 a ≠ b，则 a² ≠ b²"（也是假命题），与命题的否定完全不同。

易错题（具体例子）

易错点 · 否命题与命题的否定混淆

命题"若 x = 1，则 x² = 1"。下列说法正确的是？

A. 否命题是"若 x = 1，则 x² ≠ 1"
B. 命题的否定是"若 x ≠ 1，则 x² ≠ 1"
C. 否命题是"若 x ≠ 1，则 x² ≠ 1"，命题的否定是"若 x = 1，则 x² ≠ 1"
D. 以上都不对

正确答案：C

📌 速记：否命题动"两处"（条件和结论都否定），命题的否定只动"结论"。

5充分条件与必要条件

教材概念

教材原文

如果命题"若 p，则 q"为真，即 p ⇒ q，那么就说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

如果 p ⇒ q 且 q ⇒ p，即 p ⇔ q，那么就说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。

概念解读

用"集合包含"来彻底理解

设 p 对应集合 A = {x | p(x)}，q 对应集合 B = {x | q(x)}。

p ⇒ q 等价于 A ⊆ B（A 是小范围，B 是大范围）

即：小范围 ⟹ 大范围。

小推大 ⟹ p 是 q 的充分条件（小范围足够推出大范围）
大推不出小 ⟹ p 是 q 的不必要条件
若两个范围完全一致（A = B），则 p 是 q 的充要条件

一句话口诀："小范围推大范围 —— 小的充分，大的必要。"

① 充分不必要：小圆在大圆内

示例：p："x > 2"；q："x² > 4"。
x > 2 一定推出 x² > 4（充分）；但 x² > 4 有 x > 2 或 x < −2（不必要）。

② 必要不充分：大圈是条件，小圈是结论

示例：p："x² > 4"；q："x > 2"。
q ⟹ p（x > 2 必然 x² > 4），所以 p 是 q 的必要条件；
但 p 不能推出 q（x² > 4 可能是 x < −2），所以 p 不是 q 的充分条件。

③ 充要条件：两个圈重合

示例：p："x = 1"；q："x² = 1 且 x > 0"。两者描述的范围完全相同（都只含 x = 1），是充要条件。

④ 判断流程（做任何题都按这个来）

典型习题（先做，再看答案）

例 1

判断："x > 2"是"x² > 4"的什么条件？

💡 提示：先判断小范围、大范围，再看能不能推出。

答案与详解

第一步：确定范围

p："x > 2"，对应集合 A = (2, +∞)
q："x² > 4"，对应集合 B = (−∞, −2) ∪ (2, +∞)

第二步：比较包含关系

A = (2, +∞) ⊊ B = (−∞,−2) ∪ (2,+∞)，即 A 是 B 的真子集。

第三步：判断

· A ⊆ B 且 A ≠ B ⟹ p ⇒ q 成立但 q ⇏ p ⟹ 充分不必要条件

答案：充分不必要条件。

例 2

判断："a = b"是"ac = bc"的什么条件？（c 为实数）

💡 提示：注意 c 可能等于 0。

答案与详解

充分性：若 a = b，等式两边同乘 c，必有 ac = bc。所以"a = b ⇒ ac = bc"成立，p 是 q 的充分条件。✓

必要性：若 ac = bc，一定能推出 a = b 吗？

反例：取 a = 1, b = 2, c = 0。
此时 ac = 0，bc = 0，ac = bc 成立，但 a ≠ b。
所以"ac = bc ⇒ a = b"不成立，p 不是 q 的必要条件。

答案：充分不必要条件。

例 3

已知 p：x² − 4x + 3 ≤ 0，q：x² − 6x + 8 ≤ 0。判断 p 是 q 的什么条件。

💡 提示：先把两个不等式都解出来，再比较范围。

答案与详解

解 p

x² − 4x + 3 ≤ 0 ⟹ (x−1)(x−3) ≤ 0 ⟹ 1 ≤ x ≤ 3，即 p 对应 A = [1, 3]。

解 q

x² − 6x + 8 ≤ 0 ⟹ (x−2)(x−4) ≤ 0 ⟹ 2 ≤ x ≤ 4，即 q 对应 B = [2, 4]。

比较范围

A = [1, 3]，B = [2, 4]。两者互相"越界"：1 ∈ A 但 1 ∉ B；4 ∈ B 但 4 ∉ A。
所以既不是 A ⊆ B，也不是 B ⊆ A，两者无包含关系。

答案：p 是 q 的既不充分也不必要条件。

例 4

已知 p：x > a，q：x > 3。若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围。

💡 提示：p 是 q 的充分条件 ⟹ p 对应范围 ⊆ q 对应范围，即 A ⊆ B。

答案与详解

翻译条件

p 对应 A = (a, +∞)，q 对应 B = (3, +∞)。
"p 是 q 的充分不必要条件" ⟹ A ⊊ B（A 是 B 的真子集）。

比较大小

A = (a, +∞) 要真包含于 B = (3, +∞)，即 A 的范围要"小"于 B。
这意味着 a > 3（A 的起点在 B 的起点右边）。

检验端点

· 若 a = 3，则 A = B，此时 p ⇔ q，是充要条件，与"充分不必要"矛盾，舍去；
· 若 a > 3，则 A ⊊ B 成立。

答案：a > 3。

易错题（具体例子）

易错点 1 · 只验证一个方向

判断："x > 1"是"x² > 1"的什么条件？

错误做法：只验证"x > 1 ⟹ x² > 1"成立，就直接答"充分条件"，漏掉必要性的判断。

正确做法：
· 正向：x > 1 ⟹ x² > 1。✓（充分）
· 反向：x² > 1 得 x > 1 或 x < −1，不一定推出 x > 1。✗（不必要）
所以是充分不必要条件。

易错点 2 · 含参问题的端点处理

已知 p：x > 1，q：x ≥ a。若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围。

错误做法：直接写 a < 1，但没检验端点。

正确做法：
p 对应 A = (1, +∞)，q 对应 B = [a, +∞)。
p 是 q 的充分不必要条件 ⟹ A ⊊ B。
当 a = 1 时，B = [1, +∞)，此时 A = (1, +∞) ⊊ B，符合"真子集"要求（1 ∈ B 但 1 ∉ A）。
所以 a ≤ 1。

📌 关键：含参问题必须单独检验端点，因为端点处经常恰好变成"充要条件"，与题干要求不符。

易错点 3 · 混淆"p 是 q 的充分条件"与"q 是 p 的充分条件"

已知"x > 2"是"x > 1"的充分条件，问"x > 1"是"x > 2"的什么条件？

错误做法：也答"充分条件"（方向颠倒）。

正确做法：
· "x > 2"是"x > 1"的充分条件 ⟹ x > 2 ⟹ x > 1；
· 反过来，"x > 1"能推出"x > 2"吗？不能（反例 x = 1.5）。
所以 "x > 1" 是 "x > 2" 的必要不充分条件。

📌 记牢：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件。方向是"配套"的。

★高考链接 · 本章真题与考法

本章在高考中的定位

在近十年的上海高考数学试卷中，"集合与逻辑"部分几乎每年必考，通常出现在：

第 1—2 题（填空 4 分）：集合运算（交、并、补）
第 2—3 题（填空 4 分）：充分条件与必要条件判断
偶尔出现在选择题第 13 题（4 分）

每年本章直接贡献 4—8 分，属于"基础分"，是必须稳拿的部分。且集合运算还常与其他章节（函数、不等式、解析几何）综合出现。

上海卷真题（典型考法）

真题 1 · 集合运算

上海卷 · 填空第 1 题（4 分）

已知集合 A = {1, 2, 4}，B = {2, 3, 4}，则 A ∩ B = ______。

答案与详解

逐一比对元素，找公共元素：

1：只在 A 里，不在 B ⟹ 不是
2：A、B 都有 ⟹ 是 ✓
4：A、B 都有 ⟹ 是 ✓
3：只在 B 里，不在 A ⟹ 不是

答案：A ∩ B = {2, 4}。

题型：填空 4 分｜考点：交集运算｜难度：★☆☆☆☆

真题 2 · 集合与不等式综合

上海卷 · 填空第 1—2 题（4 分）

已知集合 A = {x | x > 1}，B = {x | x < 3}，则 A ∩ B = ______。

答案与详解

画数轴分析：

A = (1, +∞)：从 1 往右（不含 1）
B = (−∞, 3)：从 3 往左（不含 3）
重叠部分：1 到 3 之间（两端都不含）

答案：A ∩ B = {x | 1 < x < 3}。

题型：填空 4 分｜考点：集合运算 + 不等式｜难度：★☆☆☆☆

真题 3 · 充分必要条件（重点考法）

上海卷 · 填空第 2—3 题（4 分）

设 a ∈ R，则"a > 1"是"a² > 1"的（　　）
A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件

答案与详解

充分性：a > 1 ⟹ a² > 1 吗？

若 a > 1，两边同乘正数 a（> 0），得 a² > a > 1，所以 a² > 1 成立。✓

必要性：a² > 1 ⟹ a > 1 吗？

a² > 1 得 a > 1 或 a < −1。
反例：a = −2，满足 a² = 4 > 1，但 a = −2 不 > 1。✗

答案：A（充分不必要条件）。

题型：填空/选择 4 分｜考点：充分条件与必要条件｜难度：★★☆☆☆

真题 4 · 集合的补集运算

上海卷 · 填空第 1 题（4 分）

已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 A = {1, 3}，则 ∁ᵤA = ______。

答案与详解

从全集 U 中划掉 A 的所有元素（1 和 3）：

U 里共有 5 个元素：1, 2, 3, 4, 5
划掉 1 和 3 后剩下：2, 4, 5

答案：∁ᵤA = {2, 4, 5}。

题型：填空 4 分｜考点：补集运算｜难度：★☆☆☆☆

真题 5 · 综合考法（集合 + 逻辑）

上海卷 · 选择/填空（4—5 分）

已知 a, b ∈ R，命题 p："a = b"，命题 q："a² = b²"。则 p 是 q 的（　　）
A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件

答案与详解

充分性：a = b ⟹ a² = b²？

若 a = b，两边平方得 a² = b²，显然成立。✓

必要性：a² = b² ⟹ a = b？

a² = b² ⟹ (a−b)(a+b) = 0 ⟹ a = b 或 a = −b。
反例：a = 1, b = −1，满足 a² = b²，但 a ≠ b。✗

答案：A（充分不必要条件）。

题型：选择 4—5 分｜考点：充分必要条件 + 恒等变形｜难度：★★☆☆☆

本章总结（复习清单）

集合三性：确定性、互异性、无序性——做题时反复检查。
两种表示法：列举法、描述法——描述法的"|"前必须写代表元素。
常用数集：N, N*, Z, Q, R。
集合关系：子集 ⊆、真子集 ⊊、相等 =、空集 ∅。
子集计数：n 个元素 → 子集 2ⁿ 个，真子集 2ⁿ−1 个。
集合运算：交、并、补——画数轴是王道。
四种命题：原、逆、否、逆否——对角等价。
充分必要：小范围推大范围——小的充分，大的必要。
本章最高频陷阱：子集问题忘记讨论空集。